Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente: \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n+2)}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+2)}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. O conteúdo envolve dois testes principais:
teste de convergência absoluta (ver se \sum |a_n| converge)
Aplicamos o teste da integral: seja f(x)=1/\ln(x+2), positiva, contínua e decrescente para x grande. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\ln(x+2)}
é a integral logarítmica deslocada, conhecida por divergir (pois \int^{\infty}dx/\ln x diverge). Logo a série \sum 1/\ln(n+2) diverge, e não há convergência absoluta.
Passo 3
Para verificar convergência condicional pela série alternante, note que os termos
b_n = \frac{1}{\ln(n+2)}
são positivos, monotonicamente decrescentes (já que \ln(n+2) cresce) e satisfazem