Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
como divergente (D), absolutamente convergente (AC) ou condicionalmente convergente (CD).
O que vamos usar:
  1. Teste de convergência absoluta (comparação/integral).
  2. Critério de Leibniz (série alternada).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}.
Para ver se ela converge, aplicamos o teste da integral. Tomamos a função contínua e positiva
f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}},\quad x\ge1,
e comparamos \sum_{n=1}^\infty f(n) com a integral imprópria \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 3

Cálculo da integral
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Fazemos a substituição por partes: u=\ln x, dv=x^{-1/2}dx. Então du=\tfrac{1}{x}dx e v=2\sqrt{x}.
\int\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =2\sqrt{x}\,\ln x-2\int x^{-1/2}\,dx =2\sqrt{x}\,\ln x-4\sqrt{x}+C.
Ao levar x\to\infty, o termo 2\sqrt{x}\ln x\to\infty. Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=\infty
e a série \sum \frac{\ln n}{\sqrt{n}} diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Teste de Leibniz para a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n, \quad b_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}}.
  1. Mostramos que \lim_{n\to\infty}b_n=0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{\tfrac12 n^{-1/2}} =0.
  1. Verificamos que b_n é eventualmente monótona decrescente: calcule
b'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1/2}\ln x\Bigr) =x^{-3/2}\Bigl(1-\tfrac12\ln x\Bigr),
que fica negativo para x>e^2\approx7{,}4. Assim, a partir de n\ge8, b_n decresce.
Pelo critério de Leibniz, como b_n\searrow0, a série alternada converge.

Passo 5

Concluímos que a série converge (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente (pelo teste da integral). Logo ela é condicionalmente convergente.

Resposta

(CD)

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