Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a_{2 n-1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-1} e a_{2 n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série alternada \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}
onde
a_{2n-1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-1},\quad a_{2n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}.
Não podemos usar diretamente o critério da série alternada pois \{a_n\} não é monotônica. A sugestão é olhar a “sequência das reduzidas”, ou seja, agrupar termos de dois em dois.

Passo 2

Vamos simplificar a_{2n-1} e a_{2n} multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
a_{2n-1} =\frac{1}{\sqrt{n+1}-1} \cdot\frac{\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}+1} =\frac{\sqrt{n+1}+1}{(n+1)-1} =\frac{\sqrt{n+1}+1}{n},
a_{2n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+1} \cdot\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}-1} =\frac{\sqrt{n+1}-1}{n}.

Passo 3

Verificamos a convergência absoluta através de \sum_{n=1}^\infty|a_n|=\sum_{n=1}^\infty a_n =\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_{2n-1}+a_{2n}\bigr).
Como
a_{2n-1}+a_{2n} =\frac{\sqrt{n+1}+1}{n}+\frac{\sqrt{n+1}-1}{n} =\frac{2\sqrt{n+1}}{n} \sim\frac{2}{\sqrt{n}},
essa série diverge, pois é comparável a \sum1/\sqrt{n} (série p-com p=1/2).

Passo 4

Agora agrupamos dois termos da série original:
(-1)^{2n-1+1}a_{2n-1}+(-1)^{2n+1}a_{2n} =+\,a_{2n-1}-a_{2n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}.
Calculando a diferença:
a_{2n-1}-a_{2n} =\frac{(\sqrt{n+1}+1)-(\sqrt{n+1}-1)}{(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n+1}+1)} =\frac{2}{n}.
Logo a série passa a ser \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_{2n-1}-a_{2n}\bigr) =\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n}, que é a série harmônica (multiplicada por 2) e diverge.

Passo 5

Como nem converge absolutamente nem, ao agrupar termos, converge o resultado, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados