Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
cx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3

Passo 1

Beleza! Então, temos aqui um sistema de equações com duas equações e três variáveis:
x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3
Vamos usar conceitos de posto e nulidade para classificar esse sistema. Basicamente, o posto (rank) nos ajuda a entender quantas equações independentes temos, e a nulidade nos diz quantas soluções o sistema pode ter. Se tivermos mais variáveis do que equações independentes, geralmente teremos múltiplas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz. O posto é o número de linhas não nulas após simplificarmos a matriz. Vamos fazer uma eliminação de Gauss para simplificar.
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
2 times (1, 1, 1 | 4) = (2, 2, 2 | 8)
(2, 5, -2 | 3) - (2, 2, 2 | 8) = (0, 3, -4 | -5)
Nossa matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5
As duas linhas são diferentes de zero, então o posto da matriz de coeficientes é 2.

Passo 3

Agora, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o número de variáveis. Temos 3 variáveis (x, y, z) e o posto é 2. Como o posto é menor que o número de variáveis, o sistema é consistente com múltiplas soluções.
Para encontrar as soluções, podemos expressar duas variáveis em termos da terceira. Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação simplificada:
3y - 4z = -5
3y = 4z - 5
y = 4z - 53
Substituindo y na primeira equação:
x + (4z - 53) + z = 4
x + 4z - 53 + z = 4
x = 4 - 4z - 53 - z
x = 123 - 4z - 53 - 3z3
x = 12 - 4z + 5 - 3z3
x = 17 - 7z3
Então, temos:
x = 17 - 7z3 y = 4z - 53 z = z
Podemos chamar x = 17 - 7t3 y = 4t - 53 z = t de parâmetro livre, digamos . Assim, a solução geral é:

Resposta

O sistema é consistente com múltiplas soluções. A solução geral pode ser expressa em termos de um parâmetro x = 17 - 7t3 y = 4t - 53 z = t :
onde é um número real qualquer.

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