Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
Passo 1
Beleza! Então, temos aqui um sistema de equações com duas equações e três variáveis:
Vamos usar conceitos de posto e nulidade para classificar esse sistema. Basicamente, o posto (rank) nos ajuda a entender quantas equações independentes temos, e a nulidade nos diz quantas soluções o sistema pode ter. Se tivermos mais variáveis do que equações independentes, geralmente teremos múltiplas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz. O posto é o número de linhas não nulas após simplificarmos a matriz. Vamos fazer uma eliminação de Gauss para simplificar.
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Nossa matriz fica assim:
As duas linhas são diferentes de zero, então o posto da matriz de coeficientes é 2.
Passo 3
Agora, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o número de variáveis. Temos 3 variáveis (x, y, z) e o posto é 2. Como o posto é menor que o número de variáveis, o sistema é consistente com múltiplas soluções.
Para encontrar as soluções, podemos expressar duas variáveis em termos da terceira. Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação simplificada:
Substituindo y na primeira equação:
Então, temos:
Podemos chamar x = 17 - 7t3 y = 4t - 53 z = t de parâmetro livre, digamos . Assim, a solução geral é:
Resposta
O sistema é consistente com múltiplas soluções. A solução geral pode ser expressa em termos de um parâmetro x = 17 - 7t3 y = 4t - 53 z = t :