Dê um exemplo de vetor unitário em R^n cujas componentes são todas diferentes de 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente dar um exemplo de vetor unitário em R^n onde todas as componentes são diferentes de 0. Aqui, estamos trabalhando com vetores e normas. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor unitário e como garantir que todas as suas componentes sejam diferentes de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor que tem norma igual a 1. A norma de um vetor v = (v1, v2, dots, vn) em R^n é calculada pela fórmula:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2
Então, para que v seja unitário, precisamos que:
raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2 = 1

Passo 3

Agora, queremos que todas as componentes do vetor sejam diferentes de 0. Isso significa que nenhum vi pode ser zero. Para facilitar, vamos considerar que todas as componentes são iguais e diferentes de zero. Suponha que cada componente seja a, então nosso vetor fica:
v = (a, a, dots, a)

Passo 4

Vamos calcular a norma desse vetor:
|v| = raiza^2 + a^2 + dots + a^2 = raizn a^2 = |a|raizn
Queremos que essa norma seja igual a 1:
|a|raizn = 1 implies |a| = 1raizn
Podemos escolher a = 1raizn para simplificar.

Passo 5

Assim, nosso vetor unitário com todas as componentes diferentes de 0 é:
v = ( 1raizn, 1raizn, dots, 1raizn )
Esse vetor tem norma 1 e todas as suas componentes são iguais a 1raizn, que é diferente de 0.

Resposta

Um exemplo de vetor unitário em R^n com todas as componentes diferentes de 0 é:
v = ( 1raizn, 1raizn, dots, 1raizn )

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