Como calcular a norma de um vetor em R^n ? Exiba um vetor 8 -dimensional cuja norma é igual a 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a norma de um vetor em e depois mostrar um vetor de 8 dimensões cuja norma seja igual a 2. Isso envolve entender o que é a norma de um vetor, que é uma medida do “tamanho” desse vetor no espaço. Vamos precisar conhecer a fórmula da norma euclidiana e saber como aplicá-la em vetores de várias dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a norma de um vetor. A norma euclidiana de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2 em é dada pela fórmula:
Essa fórmula calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os componentes do vetor, basicamente medindo o comprimento do vetor no espaço -dimensional.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de um vetor genérico em |v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2 . Suponha que temos um vetor . Aplicando a fórmula da norma, fazemos:
Isso nos dá o “tamanho” do vetor .

Passo 4

Compreendido isso, vamos ao segundo pedido do exercício: criar um vetor de 8 dimensões cuja norma seja igual a 2. Precisamos escolher 8 números que, ao quadrados e somados, resultem em . Uma maneira simples é distribuir esse valor igualmente entre os componentes.

Passo 5

Vamos escolher todos os componentes iguais para facilitar. Seja o vetor |u| = raiz8x^2 = raiz8 cdot |x| = 2 , onde todos os |x| = 2raiz8 = 22raiz2 = 1raiz2 são iguais. Chamemos cada de . Assim, temos:
Queremos , então:
Podemos escolher para simplificar.

Passo 6

Portanto, o vetor de 8 dimensões com norma igual a 2 é:
u = ( 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2 )
Cada componente é , e somando os quadrados desses oito valores, obtemos 4, cuja raiz quadrada é 2, como queríamos.

Resposta

Um exemplo de vetor 8-dimensional com norma igual a 2 é:
u = ( 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2, 1raiz2 )

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