Como calcular a norma de um vetor em
? Exiba um vetor 8 -dimensional cuja norma é igual a 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a norma de um vetor em
e depois mostrar um vetor de 8 dimensões cuja norma seja igual a 2. Isso envolve entender o que é a norma de um vetor, que é uma medida do “tamanho” desse vetor no espaço. Vamos precisar conhecer a fórmula da norma euclidiana e saber como aplicá-la em vetores de várias dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a norma de um vetor. A norma euclidiana de um vetor
em
é dada pela fórmula:
Essa fórmula calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os componentes do vetor, basicamente medindo o comprimento do vetor no espaço
-dimensional.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de um vetor genérico em
. Suponha que temos um vetor
. Aplicando a fórmula da norma, fazemos:
Isso nos dá o “tamanho” do vetor
.
Passo 4
Compreendido isso, vamos ao segundo pedido do exercício: criar um vetor de 8 dimensões cuja norma seja igual a 2. Precisamos escolher 8 números que, ao quadrados e somados, resultem em
. Uma maneira simples é distribuir esse valor igualmente entre os componentes.
Passo 5
Vamos escolher todos os componentes iguais para facilitar. Seja o vetor
, onde todos os
são iguais. Chamemos cada
de
. Assim, temos:
Queremos
, então:
Podemos escolher
para simplificar.
Passo 6
Portanto, o vetor de 8 dimensões com norma igual a 2 é:
Cada componente é
, e somando os quadrados desses oito valores, obtemos 4, cuja raiz quadrada é 2, como queríamos.
Resposta
Um exemplo de vetor 8-dimensional com norma igual a 2 é: