Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
Passo 1
Ei! Vamos resolver esse sistema de equações juntos. Temos três equações com três incógnitas 3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y - z = 0 , e . O objetivo é descobrir se esse sistema tem:
Nenhuma solução (inconsistente),
Uma única solução, ou
Múltiplas soluções.
Para isso, vamos usar os conceitos de posto da matriz e nulidade. Basicamente, o posto da matriz nos diz quantas equações são realmente independentes, e a nulidade está relacionada ao número de soluções possíveis.
As equações do sistema são:
Passo 2
Primeiro, vamos transformar esse sistema em uma matriz aumentada. Essa matriz inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Ela fica assim:
Aqui, as colunas representam os coeficientes de , , e os termos constantes, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz e descobrir o posto dela. Isso nos ajudará a entender a consistência do sistema.
Eliminar o Linha 2 - 23 times Linha 1: das segunda e terceira equações:
Linha 2: Multiplicamos a primeira linha por 2x + 0y + z = 3 - (23 times 1) Rightarrow -103y + z = 73 e subtraímos da segunda linha.
Linha 3 - 53 times Linha 1:
5x + y - z = 0 - (53 times 1) Rightarrow -223y - z = -53
Linha 3: Multiplicamos a primeira linha por 3 & 5 & 0 & | & 1 0 & -103 & 1 & | & 73 0 & -223 & -1 & | & -53 e subtraímos da terceira linha.
Simplificar as frações multiplicando as linhas 2 e 3 por 3:
Passo 4
Vamos continuar simplificando para encontrar o posto da matriz.
Eliminar o Linha 2 times -22: & 220y - 66z = -154 Linha 3 times -10: & 220y + 30z = 50 da terceira linha usando a segunda linha:
Multiplicamos a segunda linha por (220y - 220y) + (-66z - 30z) = -154 - 50 Rightarrow -96z = -204 e a terceira linha por z = -204-96 = 178 :
-10y + 3z = 7
Subtraímos a terceira linha da segunda:
-10y + 3 times 178 = 7 Rightarrow -10y + 518 = 7
Resolvendo para -10y = 7 - 518 = 568 - 518 = 58 Rightarrow y = -580 = -116 :
3x + 5y = 1
Encontrar 3x + 5 times (-116) = 1 Rightarrow 3x - 516 = 1 usando a segunda linha simplificada:
3x = 1 + 516 = 2116 Rightarrow x = 2148 = 716
Substituindo :
Encontrar usando a primeira linha:
Substituindo :
Passo 5
Com os valores de , e encontrados, concluímos que o sistema tem uma única solução. Isso ocorre porque o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada e ambos são iguais ao número de variáveis, indicando que as equações são independentes e o sistema é consistente.
Resposta
O sistema é consistente com uma única solução, que é: