Suponha que os vetores
e
sejam combinações lineares de
e
. Se
é combinação linear de
e
, mostre que
é combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre combinações lineares de vetores. A gente tem dois vetores,
e
, que são combinações lineares de outros dois vetores,
e
. Além disso, temos um terceiro vetor,
, que também é uma combinação linear de
e
. Nosso objetivo é mostrar que
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como podemos manipular essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
e
são combinações lineares de
e
. Isso quer dizer que existem escalares (números)
tais que:
Essas equações mostram como
e
são construídos a partir de
e
.
Passo 3
Agora, sabemos que
também é uma combinação linear de
e
. Então, podemos escrever:
Onde
e
são escalares.
Passo 4
Nosso objetivo é expressar
como uma combinação linear de
e
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Para isso, vamos substituir as expressões de
e
que encontramos no Passo 2.
Passo 5
Substituindo
e
na equação de
:
Passo 6
Distribuindo os escalares
e
:
Passo 7
Comparando com a expressão de
que temos no Passo 3:
Vemos que:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
que satisfazem as duas equações simultaneamente.
Passo 9
Após resolver o sistema (usando, por exemplo, substituição ou método de matrizes), obtemos os valores de
e
. Com esses valores, podemos escrever
como:
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma combinação linear de
e
encontrando os escalares
e
que satisfazem a equação
.