Suponha que os vetores a1 e a2 sejam combinações lineares de b1 e b2. Se c é combinação linear de b1 e b2, mostre que c é combinação linear de a1 e a2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre combinações lineares de vetores. A gente tem dois vetores, e , que são combinações lineares de outros dois vetores, e . Além disso, temos um terceiro vetor, , que também é uma combinação linear de e . Nosso objetivo é mostrar que pode ser escrito como uma combinação linear de e . Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como podemos manipular essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que a1 = k11b1 + k12b2 e a2 = k21b1 + k22b2 são combinações lineares de e . Isso quer dizer que existem escalares (números) tais que:
Essas equações mostram como e são construídos a partir de e .

Passo 3

Agora, sabemos que c = m1b1 + m2b2 também é uma combinação linear de e . Então, podemos escrever:
Onde e são escalares.

Passo 4

Nosso objetivo é expressar c = pa1 + qa2 como uma combinação linear de e . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Para isso, vamos substituir as expressões de e que encontramos no Passo 2.

Passo 5

Substituindo c = p(k11b1 + k12b2) + q(k21b1 + k22b2) e na equação de :

Passo 6

Distribuindo os escalares c = (p k11 + q k21)b1 + (p k12 + q k22)b2 e :

Passo 7

Comparando com a expressão de c = m1b1 + m2b2 que temos no Passo 3:
p k11 + q k21 = m1
Vemos que:
p k12 + q k22 = m2

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações simultaneamente.

Passo 9

Após resolver o sistema (usando, por exemplo, substituição ou método de matrizes), obtemos os valores de c = pa1 + qa2 e . Com esses valores, podemos escrever como:

Resposta

Portanto, mostramos que é uma combinação linear de e encontrando os escalares e que satisfazem a equação .

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