A lista de vetores
u=[c 1 2 -3 4 ], v=[c 6 2 9 -14 ] e w=[c -7 6 -33 48 ]
é LI ou LD? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. A gente quer descobrir se a lista de vetores , e é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações. Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e ver se há uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores A = 1 & 6 & -7 2 & 2 & 6 -3 & 9 & -33 4 & -14 & 48 , e em forma de matriz, colocando-os como colunas:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a única solução para é . Isso é equivalente a resolver o sistema homogêneo .

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações a partir da matriz 1c1 + 6c2 - 7c3 = 0 2c1 + 2c2 + 6c3 = 0 -3c1 + 9c2 - 33c3 = 0 4c1 - 14c2 + 48c3 = 0 :

Passo 5

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de escalonamento de matrizes (eliminação de Gauss). Vamos aplicar operações nas linhas para simplificar o sistema:
  1. Mantenha a primeira equação: 1c1 + 6c2 - 7c3 = 0
  2. Subtraia 2 vezes a primeira equação da segunda: (2c1 + 2c2 + 6c3) - 2(1c1 + 6c2 - 7c3) = 0 0c1 - 10c2 + 20c3 = 0 -10c2 + 20c3 = 0
  3. Adicione 3 vezes a primeira equação à terceira: (-3c1 + 9c2 - 33c3) + 3(1c1 + 6c2 - 7c3) = 0 0c1 + 27c2 - 54c3 = 0 27c2 - 54c3 = 0
  4. Subtraia 4 vezes a primeira equação da quarta: (4c1 - 14c2 + 48c3) - 4(1c1 + 6c2 - 7c3) = 0 0c1 - 38c2 + 76c3 = 0 -38c2 + 76c3 = 0

Passo 6

Agora, temos um sistema simplificado:
1c1 + 6c2 - 7c3 = 0 -10c2 + 20c3 = 0 27c2 - 54c3 = 0 -38c2 + 76c3 = 0
Observando as últimas três equações, vemos que elas são múltiplos umas das outras. Simplificando, podemos dividir cada uma por seus coeficientes:
-10c2 + 20c3 = 0 Rightarrow -c2 + 2c3 = 0 27c2 - 54c3 = 0 Rightarrow c2 - 2c3 = 0 -38c2 + 76c3 = 0 Rightarrow -c2 + 2c3 = 0

Passo 7

Perceba que todas essas equações reduzem-se à mesma relação: 1c1 + 6(2c3) - 7c3 = 0 c1 + 12c3 - 7c3 = 0 c1 + 5c3 = 0 c1 = -5c3 , ou seja, . Isso significa que pode ser qualquer valor, e será o dobro dele. Vamos substituir na primeira equação:

Passo 8

Então, temos:
c1 = -5c3 c2 = 2c3
Como pode ser qualquer número, isso significa que existem infinitas soluções para o sistema além da solução trivial ( ). Portanto, os vetores , e são linearmente dependentes.

Resposta

A lista de vetores é linearmente dependente (LD).

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