Classifique a cônica dada pela equação 3 x^{2}-4 x y+3 y^{2}=12.

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
3x^{2}-4xy+3y^{2}=12
e pede que a cônica seja classificada.
Informações explícitas que temos:
  • Coeficientes do termo quadrático (na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0):
    • A=3
    • B=-4
    • C=3
  • Não há termos lineares em x ou y (ou seja, a cônica está centrada na origem, se for uma cônica central).
  • O termo constante do lado direito é 12.
O que o enunciado pede: identificar qual tipo de cônica essa equação representa (elipse, hipérbole, parábola, degenerações, etc.) e, se possível, descrever sua forma canônica (eixos principais, semi-eixos).

Passo 2

Usar o discriminante dos coeficientes quadráticos para decidir o tipo (parte teórica breve): para a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0 o discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC.
Regra prática:
  • \Delta>0 indica hipérbole (quando há termos reais);
  • \Delta=0 indica parábola;
  • \Delta<0 indica elipse (ou círculo) ou nenhuma solução real degenerada — devemos verificar se a elipse é real ou imaginária.
Calculemos \Delta com os valores dados:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 3 = 16-36 = -20.
Portanto \Delta = -20 < 0. Isso indica que a conica é do tipo elipse (ou uma elipse degenerada/imutável). Para decidir se é uma elipse real ou imaginária precisamos analisar a forma quadrática associada.

Passo 3

Analisar a forma quadrática associada por meio da matriz simétrica
Q=\begin{pmatrix}A & B/2 \\[4pt] B/2 & C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -2 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Para saber se a equação [x\\ y]\,Q\,[x\\ y]^{T}=12 representa uma elipse real é útil verificar se Q é definida positiva (então a forma quadrática toma valores positivos para (x,y)\neq(0,0), e a igualdade a uma constante positiva tem soluções reais).
Teste rápido de definitude (critério dos menores principais): Q é definida positiva se e somente se seus menores principais forem positivos:
  • Primeiro menor principal: A = 3 > 0.
  • Determinante de Q:
\det Q = 3\cdot 3 - (-2)\cdot(-2) = 9 - 4 = 5 > 0.
Como ambos são positivos, Q é definida positiva. Logo a equação com lado direito positivo ( 12>0) tem soluções reais e descreve uma elipse real.]

Passo 4

Diagonalizar a forma quadrática para obter a forma canônica (aqui a parte conceitual: diagonalizar equivale a mudar de coordenadas por rotação para eliminar o termo xy). Encontrar os autovalores de Q resolve isso.
Calcule os autovalores \lambda de Q resolvendo
\det(Q-\lambda I)=0.
Escrevendo:
\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)^{2}-(-2)^{2} = (3-\lambda)^{2}-4.
Impondo zero:
(3-\lambda)^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad (3-\lambda)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 3-\lambda = \pm 2.
Assim os autovalores são:
3-\lambda=2 \Rightarrow \lambda=1,\qquad 3-\lambda=-2 \Rightarrow \lambda=5.]

Passo 5

Encontrar as direções próprias (autovetores) associadas a cada autovalor para identificar os eixos principais.
Para \lambda=1, resolver (Q-I)v=0:
\begin{pmatrix}2 & -2 \\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\\ v\end{pmatrix}=0
isso dá u=v. Logo um autovetor é (1,1) — direção da reta y=x.
Para \lambda=5, resolver (Q-5I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & -2 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\\ v\end{pmatrix}=0
isso dá u=-v. Logo um autovetor é (1,-1) — direção da reta y=-x.
Portanto os eixos principais da cônica estão nas retas y=x e y=-x.]

Passo 6

Fazer a mudança de variável explícita por rotação: escolha coordenadas alinhadas com os autovetores. Defina
u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}.
(Nesta escolha, u corresponde à direção (1,1) e v à direção (1,-1).)
Vamos reescrever a forma quadrática em u,v. Primeiro calculamos, de modo detalhado, x^{2}+y^{2} e xy em termos de u,v:
x^{2}+y^{2} = \bigg(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\bigg)^{2} + \bigg(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\bigg)^{2} = \frac{(u+v)^{2}+(u-v)^{2}}{2} = \frac{2u^{2}+2v^{2}}{2} = u^{2}+v^{2},
xy = \bigg(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\bigg)\bigg(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\bigg) = \frac{u^{2}-v^{2}}{2}.
Agora substituímos na expressão original 3x^{2}-4xy+3y^{2}=3(x^{2}+y^{2})-4xy:
3(x^{2}+y^{2})-4xy = 3(u^{2}+v^{2}) -4\cdot\frac{u^{2}-v^{2}}{2} = 3u^{2}+3v^{2} -2(u^{2}-v^{2}) = (3u^{2}-2u^{2}) + (3v^{2}+2v^{2}) = u^{2} + 5v^{2}.
Portanto a equação original fica, nas variáveis u,v,
u^{2}+5v^{2}=12.

Passo 7

Escrever a forma canônica padrão da cônica e extrair os semi-eixos.
Dividindo ambos os lados por 12 obtemos a forma normalizada:
\frac{u^{2}}{12} + \frac{v^{2}}{12/5} = 1.
Isto é, é uma elipse com semi-eixos:
a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\quad\text{e}\quad b = \sqrt{\tfrac{12}{5}} = 2\sqrt{\tfrac{3}{5}}.
Observação: o maior semi-eixo corresponde à direção u (reta y=x), pois \sqrt{12}>\sqrt{12/5}.

Resposta

Elipse real centrada na origem, rotacionada 45^\circ; eixos principais nas retas y=x e y=-x; semi-eixos \,2\sqrt{3} (na direção y=x) e \,2\sqrt{3/5} (na direção y=-x).

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