Classifique a cônica dada pela equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede que a cônica seja classificada.
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
- Coeficientes do termo quadrático (na forma geral
): -
- Não há termos lineares em
ou (ou seja, a cônica está centrada na origem, se for uma cônica central). - O termo constante do lado direito é
.
O que o enunciado pede: identificar qual tipo de cônica essa equação representa (elipse, hipérbole, parábola, degenerações, etc.) e, se possível, descrever sua forma canônica (eixos principais, semi-eixos).
Passo 2
Usar o discriminante dos coeficientes quadráticos para decidir o tipo (parte teórica breve): para a forma geral
o discriminante é
Regra prática:
-
indica hipérbole (quando há termos reais); -
indica parábola; -
indica elipse (ou círculo) ou nenhuma solução real degenerada — devemos verificar se a elipse é real ou imaginária.
Calculemos
com os valores dados:
Portanto
. Isso indica que a conica é do tipo elipse (ou uma elipse degenerada/imutável). Para decidir se é uma elipse real ou imaginária precisamos analisar a forma quadrática associada.
Passo 3
Analisar a forma quadrática associada por meio da matriz simétrica
Para saber se a equação
representa uma elipse real é útil verificar se
é definida positiva (então a forma quadrática toma valores positivos para
, e a igualdade a uma constante positiva tem soluções reais).
Teste rápido de definitude (critério dos menores principais):
é definida positiva se e somente se seus menores principais forem positivos:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante de
:
Como ambos são positivos,
é definida positiva. Logo a equação com lado direito positivo (
) tem soluções reais e descreve uma elipse real.]
Passo 4
Diagonalizar a forma quadrática para obter a forma canônica (aqui a parte conceitual: diagonalizar equivale a mudar de coordenadas por rotação para eliminar o termo
). Encontrar os autovalores de
resolve isso.
Calcule os autovalores
de
resolvendo
Escrevendo:
Impondo zero:
Assim os autovalores são:
Passo 5
Encontrar as direções próprias (autovetores) associadas a cada autovalor para identificar os eixos principais.
Para
, resolver
:
isso dá
. Logo um autovetor é
— direção da reta
.
Para
, resolver
:
isso dá
. Logo um autovetor é
— direção da reta
.
Portanto os eixos principais da cônica estão nas retas
e
.]
Passo 6
Fazer a mudança de variável explícita por rotação: escolha coordenadas alinhadas com os autovetores. Defina
(Nesta escolha,
corresponde à direção
e
à direção
.)
Vamos reescrever a forma quadrática em
. Primeiro calculamos, de modo detalhado,
e
em termos de
:
Agora substituímos na expressão original
:
Portanto a equação original fica, nas variáveis
,
Passo 7
Escrever a forma canônica padrão da cônica e extrair os semi-eixos.
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma normalizada:
Isto é, é uma elipse com semi-eixos:
Observação: o maior semi-eixo corresponde à direção
(reta
), pois
.
Resposta
Elipse real centrada na origem, rotacionada
; eixos principais nas retas
e
; semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
).