Resolva os sistemas usando o método da Pivotação Completa e o método de Jordan.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y-2 z=10 \\\\ 3 x+2 y+2 z=1 \\\\ 5 x+4 y+3 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\left\{\begin{array}{l} 2x+y-2z=10\\[4pt] 3x+2y+2z=1\\[4pt] 5x+4y+3z=4 \end{array}\right.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\[2pt]3&2&2\\[2pt]5&4&3\end{pmatrix},
e o termo independente (vetor coluna) é
b=\begin{pmatrix}10\\[2pt]1\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede que se resolva o sistema por dois métodos diferentes:
    1. Método da pivotação completa (escolher o pivô de maior módulo na submatriz restante, trocando linhas e colunas quando necessário; ao trocar colunas, registrar permutação das variáveis).
    2. Método de Jordan (Gauss–Jordan: reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas para obter diretamente as incógnitas).
      Vou fazer cada método passo a passo, explicando as escolhas e as operações elementares usadas.]

Passo 2

Começo pelo método da pivotação completa. A ideia principal da pivotação completa é: a cada etapa escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto na submatriz de coeficientes que ainda resta, e então trazer esse elemento para a posição de pivô (posição diagonal corrente) trocando linhas e colunas. Trocar colunas corresponde a trocar a ordem das variáveis — portanto é preciso acompanhar essa permutação para recuperar as incógnitas na ordem original no final.
Matriz aumentada inicial (coeficientes | termos independentes):
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 10\\[2pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[2pt] 5 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right).
Na primeira etapa (submatriz inteira) o maior elemento em módulo entre os coeficientes é 5 (posição (3,1)). Então escolhemos esse como pivô. Como ele está na linha 3 e coluna 1, traremos esse elemento para a posição (1,1) trocando a linha 1 com a linha 3. Não é necessário trocar colunas porque já está na coluna 1. Ao trocar linhas, a permutação de variáveis não muda.
Após trocar linha 1 com linha 3 obtemos:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 3 & 4\\[2pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[2pt] 2 & 1 & -2 & 10 \end{array}\right).]

Passo 3

Agora usamos o pivô a_{11}=5 para zerar abaixo na coluna 1. As operações elementares são:
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{3}{5}R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - \frac{2}{5}R_1.
Calculemos cada linha resultante:
Para R_2:
  • 0 na posição (2,1) por construção;
  • coluna 2: 2 - \dfrac{3}{5}\cdot 4 = 2 - \dfrac{12}{5} = -\dfrac{2}{5};
  • coluna 3: 2 - \dfrac{3}{5}\cdot 3 = 2 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{1}{5};
  • termo independente: 1 - \dfrac{3}{5}\cdot 4 = 1 - \dfrac{12}{5} = -\dfrac{7}{5}.
Para R_3:
  • coluna 2: 1 - \dfrac{2}{5}\cdot 4 = 1 - \dfrac{8}{5} = -\dfrac{3}{5};
  • coluna 3: -2 - \dfrac{2}{5}\cdot 3 = -2 - \dfrac{6}{5} = -\dfrac{16}{5};
  • termo independente: 10 - \dfrac{2}{5}\cdot 4 = 10 - \dfrac{8}{5} = \dfrac{42}{5}.
A matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 3 & 4\\[2pt] 0 & -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{7}{5}\\[6pt] 0 & -\dfrac{3}{5} & -\dfrac{16}{5} & \dfrac{42}{5} \end{array}\right).]

Passo 4

Agora consideramos a submatriz de coeficientes que resta (linhas 2 e 3, colunas 2 e 3):
\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5} & -\dfrac{16}{5} \end{pmatrix}.
Na pivotação completa escolhemos o elemento de maior módulo nessa submatriz. Os módulos são \tfrac{2}{5}=0{,}4, \tfrac{1}{5}=0{,}2, \tfrac{3}{5}=0{,}6 e \tfrac{16}{5}=3{,}2. O maior em módulo é -\dfrac{16}{5}, que está na posição global (3,3). Para levá-lo à posição de pivô (2,2) precisamos:
  • trocar a linha 2 com a linha 3;
  • trocar a coluna 2 com a coluna 3.
Trocar as colunas significa trocar as incógnitas correspondentes: inicialmente as colunas estão na ordem (x,y,z). Ao trocar a coluna 2 com a coluna 3 a nova ordem de colunas (variáveis) passa a ser (x,z,y). É crucial registrar essa permutação para reorganizar as soluções depois.
Aplicando primeiro a troca de linhas R_2 \leftrightarrow R_3:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 3 & 4\\[2pt] 0 & -\dfrac{3}{5} & -\dfrac{16}{5} & \dfrac{42}{5}\\[2pt] 0 & -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{7}{5} \end{array}\right).
Agora trocamos a coluna 2 com a coluna 3 (faça isso em toda a matriz aumentada, mas NÃO troque o termo independente). Após trocar as colunas obtemos:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & 4 & 4\\[2pt] 0 & -\dfrac{16}{5} & -\dfrac{3}{5} & \dfrac{42}{5}\\[2pt] 0 & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{2}{5} & -\dfrac{7}{5} \end{array}\right).
Lembrete: a ordem das incógnitas agora é (x,z,y).]

Passo 5

Agora o pivô na posição (2,2) é a_{22}=-\dfrac{16}{5}. Usamos esse pivô para zerar o elemento abaixo na coluna 2 (posição (3,2) que vale \dfrac{1}{5}). A operação é:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{a_{32}}{a_{22}}R_2 = R_3 - \frac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{16}{5}}\,R_2 = R_3 + \frac{1}{16}R_2.
Calculemos R_3:
  • coluna 2 fica 0 por construção;
  • coluna 3: -\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{16}\left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{80} = -\dfrac{35}{80} = -\dfrac{7}{16};
  • termo independente: -\dfrac{7}{5} + \dfrac{1}{16}\cdot \dfrac{42}{5} = -\dfrac{7}{5} + \dfrac{42}{80} = -\dfrac{56}{40} + \dfrac{21}{40} = -\dfrac{35}{40} = -\dfrac{7}{8}.
A matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & 4 & 4\\[2pt] 0 & -\dfrac{16}{5} & -\dfrac{3}{5} & \dfrac{42}{5}\\[2pt] 0 & 0 & -\dfrac{7}{16} & -\dfrac{7}{8} \end{array}\right).]

Passo 6

Agora já temos triangular superior (após as permutas de colunas). A última equação (linha 3, coluna 3 no arranjo atual) é
-\dfrac{7}{16}\cdot w_3 = -\dfrac{7}{8},
onde w_3 é a incógnita correspondente à coluna 3 na ordem atual (x,z,y). Resolvendo:
w_3 = \frac{-\tfrac{7}{8}}{-\tfrac{7}{16}} = \frac{-7/8}{-7/16} = \frac{1}{8}\cdot 16 = 2.
Portanto o valor da variável na coluna 3 (ordem atual) é 2. Lembrando a ordem atual (x,z,y), isso significa y_{\text{(original)}}=2.
Subindo para a linha 2:
-\dfrac{16}{5}\,w_2 - \dfrac{3}{5}\,w_3 = \dfrac{42}{5}.
Multiplicando por 5:
-16\,w_2 - 3\,w_3 = 42.
Substituindo w_3=2:
-16\,w_2 - 6 = 42 \quad\Rightarrow\quad -16\,w_2 = 48 \quad\Rightarrow\quad w_2 = -3.
Aqui w_2 é a variável correspondente à coluna 2 na ordem atual, isto é z_{\text{(original)}} = -3.
Finalmente, linha 1:
5\,w_1 + 3\,w_2 + 4\,w_3 = 4.
Substituindo w_2=-3 e w_3=2:
5\,w_1 + 3(-3) + 4(2) = 4 \quad\Rightarrow\quad 5\,w_1 -9 +8 = 4 \quad\Rightarrow\quad 5\,w_1 -1 = 4,
logo 5\,w_1 =5 e w_1 =1. Aqui w_1 é x (coluna 1 não foi permutada), então x=1.
Agora reconstruímos as incógnitas na ordem original (x,y,z). Lembrete: a ordem usada nas colunas, após uma única troca de colunas (2↔3), foi (x,z,y). Encontramos w_1=x=1, w_2=z=-3, w_3=y=2. Portanto em ordem original:
(x,y,z)=(1,2,-3).

Passo 7

Agora resolvo o mesmo sistema pelo método de Jordan (Gauss–Jordan). A ideia do método de Jordan é usar operações elementares sobre linhas para reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna; aí os valores das incógnitas aparecem diretamente na coluna dos termos independentes.
Começo novamente com a matriz aumentada original:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 10\\[2pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[2pt] 5 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right).]

Passo 8

Normalizo a primeira linha para obter pivô 1 na posição (1,1). Faço R_1 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_1:
R_1=\left(1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ -1\\ \big|\\\ 5\right).
Matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & -1 & 5\\[2pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[2pt] 5 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right).
Agora zeramos as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3 usando:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
Calculando:
  • R_2 torna-se \left(0,\tfrac{1}{2},5\\ \big|\\\ -14\right).
  • R_3 torna-se \left(0,\tfrac{3}{2},8\\ \big|\\\ -21\right).
Então a matriz é:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & -1 & 5\\[2pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 5 & -14\\[2pt] 0 & \tfrac{3}{2} & 8 & -21 \end{array}\right).]

Passo 9

Agora faço o pivô na posição (2,2). Normalizo a linha 2 para pivô 1: R_2 \leftarrow 2 R_2, obtendo
R_2 = \left(0,1,10\\ \big|\\\ -28\right).
Matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & -1 & 5\\[2pt] 0 & 1 & 10 & -28\\[2pt] 0 & \tfrac{3}{2} & 8 & -21 \end{array}\right).
Agora zeramos as outras entradas da coluna 2: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2 e R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}R_2.
Calculando:
  • R_1 = \left(1,0,-6\\ \big|\\\ 19\right) porque -1 - \tfrac{1}{2}\cdot 10 = -1 -5 = -6 e 5 - \tfrac{1}{2}(-28)=5+14=19.
  • R_3 = \left(0,0,-7\\ \big|\\\ 21\right) porque 8 - \tfrac{3}{2}\cdot 10 = 8 -15 = -7 e -21 - \tfrac{3}{2}(-28) = -21 +42 = 21.
A matriz fica:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -6 & 19\\[2pt] 0 & 1 & 10 & -28\\[2pt] 0 & 0 & -7 & 21 \end{array}\right).]

Passo 10

Finalmente normalizo a linha 3 para ter pivô 1: R_3 \leftarrow -\dfrac{1}{7} R_3, obtendo
R_3 = \left(0,0,1\\ \big|\\\ -3\right).
Agora elimino as entradas acima na coluna 3:
R_1 \leftarrow R_1 + 6R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - 10R_3.
Calculando:
  • R_1 = (1,0,0\\ \big|\\\ 1) porque 19 + 6(-3) = 19 -18 = 1.
  • R_2 = (0,1,0\\ \big|\\\ 2) porque -28 -10(-3) = -28 +30 = 2.
A matriz em forma reduzida (RREF) é:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[2pt] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right).
Daí lemos diretamente as soluções:
x=1,\qquad y=2,\qquad z=-3.]

Resposta

Pivotação completa: (x,y,z)=(1,2,-3)
Método de Jordan: (x,y,z)=(1,2,-3)

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