Resolva os sistemas usando o método da Pivotação Completa e o método de Jordan. \left\{\begin{array}{l}2 x+y-2 z=10 \\\\ 3 x+2 y+2 z=1 \\\\ 5 x+4 y+3 z=4\end{array}\right.
O enunciado pede que se resolva o sistema por dois métodos diferentes:
Método da pivotação completa (escolher o pivô de maior módulo na submatriz restante, trocando linhas e colunas quando necessário; ao trocar colunas, registrar permutação das variáveis).
Método de Jordan (Gauss–Jordan: reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas para obter diretamente as incógnitas).
Vou fazer cada método passo a passo, explicando as escolhas e as operações elementares usadas.]
Passo 2
Começo pelo método da pivotação completa. A ideia principal da pivotação completa é: a cada etapa escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto na submatriz de coeficientes que ainda resta, e então trazer esse elemento para a posição de pivô (posição diagonal corrente) trocando linhas e colunas. Trocar colunas corresponde a trocar a ordem das variáveis — portanto é preciso acompanhar essa permutação para recuperar as incógnitas na ordem original no final.
Na primeira etapa (submatriz inteira) o maior elemento em módulo entre os coeficientes é 5 (posição (3,1)). Então escolhemos esse como pivô. Como ele está na linha 3 e coluna 1, traremos esse elemento para a posição (1,1) trocando a linha 1 com a linha 3. Não é necessário trocar colunas porque já está na coluna 1. Ao trocar linhas, a permutação de variáveis não muda.
Na pivotação completa escolhemos o elemento de maior módulo nessa submatriz. Os módulos são \tfrac{2}{5}=0{,}4, \tfrac{1}{5}=0{,}2, \tfrac{3}{5}=0{,}6 e \tfrac{16}{5}=3{,}2. O maior em módulo é -\dfrac{16}{5}, que está na posição global (3,3). Para levá-lo à posição de pivô (2,2) precisamos:
trocar a linha 2 com a linha 3;
trocar a coluna 2 com a coluna 3.
Trocar as colunas significa trocar as incógnitas correspondentes: inicialmente as colunas estão na ordem (x,y,z). Ao trocar a coluna 2 com a coluna 3 a nova ordem de colunas (variáveis) passa a ser (x,z,y). É crucial registrar essa permutação para reorganizar as soluções depois.
Aplicando primeiro a troca de linhas R_2 \leftrightarrow R_3:
Lembrete: a ordem das incógnitas agora é (x,z,y).]
Passo 5
Agora o pivô na posição (2,2) é a_{22}=-\dfrac{16}{5}. Usamos esse pivô para zerar o elemento abaixo na coluna 2 (posição (3,2) que vale \dfrac{1}{5}). A operação é:
logo 5\,w_1 =5 e w_1 =1. Aqui w_1 é x (coluna 1 não foi permutada), então x=1.
Agora reconstruímos as incógnitas na ordem original (x,y,z). Lembrete: a ordem usada nas colunas, após uma única troca de colunas (2↔3), foi (x,z,y). Encontramos w_1=x=1, w_2=z=-3, w_3=y=2. Portanto em ordem original:
(x,y,z)=(1,2,-3).
Passo 7
Agora resolvo o mesmo sistema pelo método de Jordan (Gauss–Jordan). A ideia do método de Jordan é usar operações elementares sobre linhas para reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna; aí os valores das incógnitas aparecem diretamente na coluna dos termos independentes.