Classifique a EDO quanto a ordem, o grau e a linearidade.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos classificá-la em três aspectos: ordem, grau e linearidade. Para isso, vamos precisar identificar qual é a derivada mais alta presente na equação, verificar o grau dessa derivada e determinar se a equação é linear ou não.
Passo 2
Ordem da EDO: A ordem de uma EDO é determinada pelo maior número de derivadas que aparece na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, $ y^{(VII)} $ representa a sétima derivada de $ y $ em relação a $ x $. Portanto, a ordem da EDO é 7.
Passo 3
Grau da EDO: O grau de uma EDO é o expoente da derivada de maior ordem, após a equação estar polinomial em relação a todas as derivadas. Para que o grau seja definido, a equação deve ser expressa como um polinômio nas derivadas de $ y $.
No entanto, na nossa equação, a derivada $ y^{(VII)} $ está multiplicada por funções trigonométricas e também temos funções que envolvem $ y^{(I)} $. Isso impede que a equação seja expressa como um polinômio nas derivadas. Portanto, o grau não está definido para esta EDO.
Passo 4
Linearidade da EDO: Uma EDO é linear se for de primeiro grau em todas as derivadas de $ y $ e se os coeficientes dependerem apenas de $ x $, não de $ y $ ou suas derivadas.
Na nossa equação:
Observamos que $ y^{(VII)} $ está multiplicado por uma função de $ x $, o que está ok para linearidade. Porém, a presença de $ \tan \left(\sqrt{\frac{y^{(I)}}{x}}\right) $ envolve uma função não linear de $ y^{(I)} $, já que as derivadas estão dentro de funções não lineares (como a tangente). Portanto, a EDO não é linear.
Resposta
A EDO dada é de 7ª ordem, com grau não definido e não linear.