Determine a solução do PVI dado. Em cada caso, deixe claro qual o domínio da solução.
(1-t^2) y^prime-t y=t(1-t^2) e y(0)=2.

Passo 1

O problema pede a solução do PVI (1 - t^2) y' - t y = t(1 - t^2), com y(0) = 2. Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem; usaremos o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão y' + P(t),y = Q(t). Dividindo por 1 - t^2, obtemos
y' - t1 - t^2,y = t

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) = expl(integral -t1 - t^2 dtr). Fazendo a integral, integral -t1 - t^2 dt = tfrac12ln(1 - t^2), logo
mu(t) = raiz1 - t^2
Note que exige 1 - t^2 >0, ou seja, tin(-1,1).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Isso dá
ddtl(raiz1 - t^2;yr) = t,raiz1 - t^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
raiz1 - t^2;y = integral t,raiz1 - t^2,dt + C = -13(1 - t^2)^3/2 + C

Passo 6

Isolamos y:
y = -13(1 - t^2) + Craiz1 - t^2
Aplicando a condição inicial y(0)=2, temos
2 = -13 + C Longrightarrow C = 73

Passo 7

Portanto, a solução do PVI é
y(t) = -1 - t^23 + 73,raiz1 - t^2,
válida para tin(-1,1).

Resposta

y(t) = -1 - t^23 + 73raiz1 - t^2, tin(-1,1).

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