Considere o PVI
l d yd t=2 t y^2 y(0)=1
Mostre que y=11-t^2 é uma solução desse PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma equação diferencial e uma condição inicial. Nosso objetivo é mostrar que a função resolve esse PVI. Para resolver isso, vamos precisar das noções básicas de derivadas e de como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos testar: . Precisamos calcular a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos calcular dydt = ddt (1 - t^2)^-1 = -1 cdot (1 - t^2)^-2 cdot (-2t) = 2t(1 - t^2)^2 . Usando a regra da derivada para funções do tipo , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir dydt = 2t y^2 na equação diferencial dada:
dydt = 2t ( 11 - t^2 )^2 = 2t(1 - t^2)^2
Substituindo :

Passo 5

Comparando o que calculamos para 2t(1 - t^2)^2 = 2t(1 - t^2)^2 com a expressão da equação diferencial:
Vemos que os dois lados são iguais, o que confirma que satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Por fim, verificamos a condição inicial y(0) = 11 - 0^2 = 1 :
Isso confirma que a função também atende à condição inicial do PVI.

Resposta

A função é uma solução do PVI dado.

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