Classifique as EDOs abaixo como linear ou não-linear (se não-linear, determine de qual tipo).
(a) y^prime=t^2y(1+t^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente classificar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada como linear ou não-linear. A equação que vamos analisar é:
y^prime = t^2y(1+t^3)
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO linear e como identificar se a equação é não-linear, além de ver de qual tipo ela pode ser.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO linear. Uma EDO de primeira ordem é considerada linear se ela pode ser escrita na forma:
y^prime + P(t) , y = Q(t)
Aqui, $ P(t) $ e $ Q(t) $ são funções que dependem só de $ t $. A chave é que $ y $ e $ y’ $ aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicados, elevados a potências diferentes, etc.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa equação:
y^prime = t^2y(1+t^3)
Vamos tentar ver se conseguimos colocá-la na forma linear. Se multiplicarmos ambos os lados por $ y(1 + t^3) $, teremos:
y(1 + t^3)
Isso dá:
y^prime cdot y(1 + t^3) = t^2
Aqui, percebemos que $ y $ está multiplicando $ y’ $, o que não se encaixa na forma linear, onde $ y $ estaria apenas somando ou subtraindo. Além disso, $ y $ está no denominador na forma original, o que já indica não linearidade.

Passo 4

Como a equação não é linear, vamos identificar de que tipo ela é. Observando de novo:
y^prime cdot y = t^21 + t^3
Podemos ver que a equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ t $ em lados diferentes da equação. Isso facilita a resolução porque conseguimos integrar cada lado separadamente.

Resposta

A EDO $ y^{\prime} = \frac{t{2}}{y(1+t{3})} $ é não-linear do tipo separável.

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