Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
x^{\prime}=e^{t-x}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
\frac{dx}{dt}=e^{t-x}, encontrar a sua solução geral e verificar que ela realmente satisfaz a ODE. Vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

A equação é de primeira ordem (apenas \frac{dx}{dt} aparece), não é linear em x (há o termo e^{-x}), mas é separável, pois podemos escrever
e^x\,dx = e^t\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^x\,dx = \int e^t\,dt.
As integrais dão
e^x + C_1 = e^t + C_2.
Definindo C = C_2 - C_1, obtemos a relação
e^x = e^t + C.

Passo 4

Isolando x, a solução geral fica
x(t) = \ln\bigl(e^t + C\bigr),
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificamos derivando x(t):
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\ln\bigl(e^t + C\bigr) = \frac{1}{e^t + C}\,e^t = e^{t - x},
usando e^x = e^t + C. Portanto a solução satisfaz a ODE.

Resposta

A solução geral é
x(t) = \ln\bigl(e^t + C\bigr), \quad C\in\mathbb{R}.

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