Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}+2 x y=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} + 2x\,y = 1
Trata-se de uma EDO de primeira ordem, linear e não homogênea no formato padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
com P(x)=2x e Q(x)=1. Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definindo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = \exp(x^2).

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por \mu(x):
e^{x^2}\frac{dy}{dx} + 2x\,e^{x^2}y = e^{x^2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{x^2}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = e^{x^2}\frac{dy}{dx} + y\cdot 2x\,e^{x^2}.
Logo obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = e^{x^2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{x^2} = \int e^{x^2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Assim a solução geral é
y(x) = e^{-x^2}\Bigl(\int e^{x^2}\,dx + C\Bigr).

Passo 5

Para verificar, derivamos
y(x) = e^{-x^2}I(x),\quad I(x)=\int e^{x^2}\,dx + C,
então
\frac{dy}{dx} = -2x\,e^{-x^2}I(x) + e^{-x^2}\,e^{x^2} = -2x\,y + 1,
o que reescreve
\frac{dy}{dx} + 2x\,y = 1,
confirmando a solução.

Resposta

y(x) = e^{-x^2}\Bigl(\int e^{x^2}\,dx + C\Bigr),
com C constante.

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