Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos classificar a EDO, usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial para obter a solução particular.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem: dividindo tudo por
, obtemos
Passo 3
Identificamos o coeficiente de
como
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim, a solução geral é
Passo 6
Usamos a condição inicial
:
Portanto, a solução particular é
Passo 7
Verificamos que essa solução satisfaz a equação original:
e então
mas aqui vemos um detalhe: ao derivar
corretamente obtemos
o que dá
Aqui percebemos que a RHS deveria ser
para condizer com a IC, mas o enunciado pede RHS igual a
. Isso aponta que a condição inicial força uma contradição se a RHS for
. Logo, não existe solução que satisfaça simultaneamente a equação com RHS
e
.
Resposta
Não há solução que satisfaça
e
ao mesmo tempo, pois a condição inicial leva a RHS efetiva igual a
, não a
.