Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=1 ; x>0 ; y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\,\frac{dy}{dx} + x\,y = 1,\quad x>0,
com condição inicial y(1)=2. Vamos classificar a EDO, usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial para obter a solução particular.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem: dividindo tudo por x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Identificamos o coeficiente de y como P(x)=\tfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp(\ln x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x:
x\,\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y, logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C,
onde C é a constante de integração. Assim, a solução geral é
y(x)=\frac{\ln x + C}{x}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2:
y(1)=\frac{\ln 1 + C}{1} = C = 2.
Portanto, a solução particular é
y(x)=\frac{\ln x + 2}{x}.

Passo 7

Verificamos que essa solução satisfaz a equação original:
\frac{dy}{dx} =\frac{\displaystyle\frac{1}{x}-\frac{\ln x + 2}{x^{2}}}{} =\frac{1}{x^{2}}\bigl(x - (\ln x + 2)\bigr)
e então
x^{2}\,\frac{dy}{dx}+x\,y = x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}\bigl(x - (\ln x + 2)\bigr) + x\cdot\frac{\ln x + 2}{x} = x - (\ln x + 2) + (\ln x + 2) = x - \ln x - 2 + \ln x + 2 = x,
mas aqui vemos um detalhe: ao derivar y corretamente obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x + 2}{x^{2}} +\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1 - (\ln x + 2) + 1}{x^{2}} =\frac{2 - \ln x - 2}{x^{2}} =-\frac{\ln x}{x^{2}},
o que dá
x^{2}\,\frac{dy}{dx}+x\,y =x^{2}\Bigl(-\frac{\ln x}{x^{2}}\Bigr) + x\cdot\frac{\ln x + 2}{x} =-\ln x + \ln x + 2 =2.
Aqui percebemos que a RHS deveria ser 2 para condizer com a IC, mas o enunciado pede RHS igual a 1. Isso aponta que a condição inicial força uma contradição se a RHS for 1. Logo, não existe solução que satisfaça simultaneamente a equação com RHS =1 e y(1)=2.

Resposta

Não há solução que satisfaça \;x^{2}\,\frac{dy}{dx}+x\,y=1 e y(1)=2 ao mesmo tempo, pois a condição inicial leva a RHS efetiva igual a 2, não a 1.

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