Classifique as equações abaixo e determine um intervalo no qual a solução do problema dado certamente existe:
y^{\prime}=\frac{y}{x-1}, \quad y(2)=3

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' = \frac{y}{x-1},
com condição inicial y(2)=3. O conteúdo que vamos usar é a classificação de equações de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que garante solução única sempre que a função do lado direito e sua derivada parcial em y são contínuas numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Para classificar a equação, note que ela é de primeira ordem e pode ser escrita como
y' - \frac{1}{x-1}\,y = 0.
Logo, trata-se de uma equação linear de primeira ordem (e também é separável e homogênea, pois podemos separar as variáveis).

Passo 3

Definimos
f(x,y) = \frac{y}{x-1}.
Vemos que f é contínua em (x,y) sempre que x\neq1. Além disso,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{x-1}
também é contínua para x\neq1. Como a condição inicial está em x_0=2, basta escolher uma vizinhança de 2 que não inclua x=1 para aplicar o teorema de existência e unicidade.

Passo 4

Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução que passa por (2,3) em qualquer intervalo aberto que contenha 2 e fique inteiramente dentro do domínio x\neq1. Por exemplo, podemos tomar o intervalo máximo
(1,\infty),
pois é aí que f e \partial f/\partial y permanecem contínuas.

Resposta

A equação é de primeira ordem, linear (além de separável e homogênea) e a solução única com y(2)=3 existe certamente em todo intervalo contido em (1,\infty), como por exemplo (1,\infty).

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