Classifique as equações abaixo e determine um intervalo no qual a solução do problema dado certamente existe:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo que vamos usar é a classificação de equações de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que garante solução única sempre que a função do lado direito e sua derivada parcial em
são contínuas numa vizinhança do ponto inicial.
Passo 2
Para classificar a equação, note que ela é de primeira ordem e pode ser escrita como
Logo, trata-se de uma equação linear de primeira ordem (e também é separável e homogênea, pois podemos separar as variáveis).
Passo 3
Definimos
Vemos que
é contínua em
sempre que
. Além disso,
também é contínua para
. Como a condição inicial está em
, basta escolher uma vizinhança de
que não inclua
para aplicar o teorema de existência e unicidade.
Passo 4
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução que passa por
em qualquer intervalo aberto que contenha
e fique inteiramente dentro do domínio
. Por exemplo, podemos tomar o intervalo máximo
pois é aí que
e
permanecem contínuas.
Resposta
A equação é de primeira ordem, linear (além de separável e homogênea) e a solução única com
existe certamente em todo intervalo contido em
, como por exemplo
.