(2,0 pts) Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI),
y^{\prime}=\frac{2 t}{\left(y+t^{2} y\right)}, \quad y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = \frac{2t}{y + t^2 y},\quad y(0)=-2
Este é um PVI de equação diferencial ordinária separável: vamos separar as variáveis y e t e depois integrar.

Passo 2

Primeiro note que
y + t^2 y = y\,(1+t^2),
então a equação torna-se
\frac{dy}{dt} = \frac{2t}{y\,(1+t^2)}.
Multiplicando ambos os lados por y\,(1+t^2)\,dt obtemos a forma separável
y\,dy = \frac{2t}{1+t^2}\,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \frac{2t}{1+t^2}\,dt.
No lado esquerdo
\int y\,dy = \frac{y^2}{2},
e no direito, com u=1+t^2, du=2t\,dt, temos
\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C = \ln(1+t^2) + C.
Logo
\frac{y^2}{2} = \ln(1+t^2) + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e chamando a constante de C_1,
y^2 = 2\ln(1+t^2) + C_1.
Usamos a condição inicial y(0)=-2:
(-2)^2 = 2\ln(1+0^2) + C_1 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 0 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 4.

Passo 5

Substituindo C_1 e isolando y,
y^2 = 2\ln(1+t^2) + 4 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{2\ln(1+t^2) + 4}.
Como y(0)=-2 é negativo, escolhemos o sinal “ -”. Portanto
y(t) = -\,\sqrt{2\ln\bigl(1+t^2\bigr) + 4}.

Resposta

y(t) = -\sqrt{2\ln(1+t^2) + 4}.

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