Classifique as equações abaixo e determine um intervalo no qual a solução do problema dado certamente existe:
y^{\prime}=\frac{t-y}{2 t+5 y}, \quad y(1)=2

Passo 1

O problema de valor inicial é
y' \;=\;\frac{t - y}{2\,t + 5\,y}, \qquad y(1)=2.
Estamos diante de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, na forma explícita y'=f(t,y). Para resolver o que se pede, vamos (1) classificar o tipo de equação e (2) aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) analisando onde f e \partial f/\partial y são contínuas.

Passo 2

Classificação da equação: a função
f(t,y)=\frac{t - y}{2\,t + 5\,y}
é razão de duas funções homogêneas de grau 1 em (t,y). Logo, é uma equação diferencial não linear e homogênea de primeira ordem (grau zero em (t,y)).

Passo 3

Identificar pontos singulares: o denominador anula-se quando
2\,t + 5\,y = 0.
Nesse conjunto de pontos f deixa de ser contínua e seu \partial f/\partial y também. Denotemos
D = \{(t,y)\mid 2\,t + 5\,y \neq 0\}.
Precisamos de um retângulo em (t,y) contendo (1,2) totalmente contido em D.

Passo 4

Verificação no ponto inicial: em (t_0,y_0)=(1,2) temos
2\cdot1 + 5\cdot2 = 2 + 10 = 12 \neq 0,
portanto (1,2)\in D.

Passo 5

Escolha de um retângulo em D: por exemplo
R = \{(t,y)\mid 0 \le t \le 2,\;1 \le y \le 3\}.
Em R temos
2\,t + 5\,y \;\ge\; 2\cdot0 + 5\cdot1 = 5 >0,
logo nem f nem \partial f/\partial y têm singularidades em R. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única a solução em algum intervalo em torno de t=1. Como R cobre t\in[0,2], garantimos a existência e unicidade de y(t) para todo
t \in [0,2].

Resposta

A equação é de primeira ordem, não linear e homogênea (razão de funções lineares). Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução para t em
[0,2].

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