Classifique as equações abaixo e determine um intervalo no qual a solução do problema dado certamente existe:
Passo 1
O problema de valor inicial é
Estamos diante de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, na forma explícita
. Para resolver o que se pede, vamos (1) classificar o tipo de equação e (2) aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) analisando onde
e
são contínuas.
Passo 2
Classificação da equação: a função
é razão de duas funções homogêneas de grau 1 em
. Logo, é uma equação diferencial não linear e homogênea de primeira ordem (grau zero em
).
Passo 3
Identificar pontos singulares: o denominador anula-se quando
Nesse conjunto de pontos
deixa de ser contínua e seu
também. Denotemos
Precisamos de um retângulo em
contendo
totalmente contido em
.
Passo 4
Verificação no ponto inicial: em
temos
portanto
.
Passo 5
Escolha de um retângulo em
: por exemplo
Em
temos
logo nem
nem
têm singularidades em
. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única a solução em algum intervalo em torno de
. Como
cobre
, garantimos a existência e unicidade de
para todo
Resposta
A equação é de primeira ordem, não linear e homogênea (razão de funções lineares). Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução para
em