Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
y^{\prime \prime \prime}+2\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}+y^{\prime}=\tan (x)

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação dada quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. A equação fornecida é
y^{\prime\prime\prime}+2\bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3}+y^{\prime}=\tan(x).
Informações importantes extraídas da equação:
  • Aparecem derivadas ordinais em relação a x: y^{\prime}, y^{\prime\prime}, y^{\prime\prime\prime}.
  • Existe um termo não linear \;2\bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3}\; que é a potência cúbica da segunda derivada.
  • O lado direito é \tan(x), uma função apenas de x (não depende de y nem de suas derivadas).

Passo 2

Definição e checagem do “tipo” (ordinária vs parcial).
  • Uma equação é do tipo ordinária (EDO) se todas as derivadas envolvidas são derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente (aqui x).
  • Uma equação é parcial (EDP) se aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Aplicando ao enunciado: todas as derivadas são y^{\prime},y^{\prime\prime},y^{\prime\prime\prime}, ou seja, derivadas ordinárias em relação a x. Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

Definição e checagem da “ordem”.
  • A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação.
  • Aqui a maior derivada presente é y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada).
Logo a ordem da equação é 3. (Observação prática: uma EDO de ordem 3 geralmente necessita de três condições iniciais, por exemplo y(x_0),y'(x_0),y''(x_0).)

Passo 4

Definição de “linearidade” e critério de verificação.
  • Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y^{\prime}+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) dependem somente da variável independente x (podem ser constantes) e g(x) é uma função de x. Importante: não são permitidas potências, produtos ou funções não lineares de y ou de suas derivadas.
  • Se existir qualquer termo como (y^{(k)})^2, \sin(y), y\cdot y', entre outros, a equação é não linear.

Passo 5

Aplicando o critério de linearidade à equação dada.
  • A equação contém o termo \;2\bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3}, que é a potência cúbica de y^{\prime\prime}. Esse termo é não linear porque envolve \bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3} (produto/potência da função derivada), o que impede escrever a equação na forma linear mostrada no passo anterior.
  • O termo do lado direito \tan(x) é apenas função de x (portanto não impede linearidade por si só), mas já foi suficiente a presença de \;2\bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3} para concluir que a equação é não linear.
  • Observação sobre homogeneidade: para equações lineares, “homogênea” significa g(x)=0. Aqui g(x)=\tan(x)\neq 0, então mesmo se fosse linear seria não homogênea. Como a equação é não linear, a terminologia “não homogênea” em sentido linear também se aplica no sentido de que há um termo independente de y igual a \tan(x).

Passo 6

Exemplos curtos para fixar a ideia:
  • Exemplo de EDO linear de ordem 3: \;y^{\prime\prime\prime}+x\,y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+3y=\sin(x)\; — aqui todos os coeficientes dependem só de x e não há potências de y nem de derivadas.
  • Exemplo de EDO não linear (semelhante ao dado): \;y^{\prime\prime}+ (y^{\prime})^{2}=0\; — termo (y')^2 torna-a não linear.
Força aí — essa classificação é uma parte pequena mas essencial para entender que técnicas tentar depois: como há não linearidade forte ( (y'')^3), métodos analíticos fechados provavelmente não existem e serão necessários métodos numéricos ou aproximações.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária.
Ordem: 3.
Linearidade: não linear (contém o termo 2\bigl(y^{\prime\prime}\bigr)^{3}); não homogênea ( \tan(x) no lado direito).

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