Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a equação dada quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. A equação fornecida é
Informações importantes extraídas da equação:
- Aparecem derivadas ordinais em relação a
: , , . - Existe um termo não linear
que é a potência cúbica da segunda derivada. - O lado direito é
, uma função apenas de (não depende de nem de suas derivadas).
Passo 2
Definição e checagem do “tipo” (ordinária vs parcial).
- Uma equação é do tipo ordinária (EDO) se todas as derivadas envolvidas são derivadas ordinárias em relação a uma única variável independente (aqui
). - Uma equação é parcial (EDP) se aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Aplicando ao enunciado: todas as derivadas são
, ou seja, derivadas ordinárias em relação a
. Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária.
Passo 3
Definição e checagem da “ordem”.
- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação.
- Aqui a maior derivada presente é
(terceira derivada).
Logo a ordem da equação é
. (Observação prática: uma EDO de ordem
geralmente necessita de três condições iniciais, por exemplo
.)
Passo 4
Definição de “linearidade” e critério de verificação.
- Uma EDO de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
dependem somente da variável independente
(podem ser constantes) e
é uma função de
. Importante: não são permitidas potências, produtos ou funções não lineares de
ou de suas derivadas.
- Se existir qualquer termo como
, , , entre outros, a equação é não linear.
Passo 5
Aplicando o critério de linearidade à equação dada.
- A equação contém o termo
, que é a potência cúbica de . Esse termo é não linear porque envolve (produto/potência da função derivada), o que impede escrever a equação na forma linear mostrada no passo anterior. - O termo do lado direito
é apenas função de (portanto não impede linearidade por si só), mas já foi suficiente a presença de para concluir que a equação é não linear. - Observação sobre homogeneidade: para equações lineares, “homogênea” significa
. Aqui , então mesmo se fosse linear seria não homogênea. Como a equação é não linear, a terminologia “não homogênea” em sentido linear também se aplica no sentido de que há um termo independente de igual a .
Passo 6
Exemplos curtos para fixar a ideia:
- Exemplo de EDO linear de ordem
: — aqui todos os coeficientes dependem só de e não há potências de nem de derivadas. - Exemplo de EDO não linear (semelhante ao dado):
— termo torna-a não linear.
Força aí — essa classificação é uma parte pequena mas essencial para entender que técnicas tentar depois: como há não linearidade forte (
), métodos analíticos fechados provavelmente não existem e serão necessários métodos numéricos ou aproximações.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária.
Ordem: .
Linearidade: não linear (contém o termo ); não homogênea (
no lado direito).
Ordem:
Linearidade: não linear (contém o termo