Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação sabendo que a
foi calculada na lista Semanal 2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A equação diferencial é
- O enunciado diz que a solução geral da homogênea
já foi calculada (da lista): a solução da homogênea associada é
- O que se pede aqui é encontrar uma solução particular
da equação não-homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
Passo 2
Resumo do método de variação dos parâmetros (ideia e fórmulas que vou usar).
- Seja
e duas soluções fundamentais da equação homogênea. Aqui podemos escolher
- A variação dos parâmetros procura uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar.
- As fórmulas práticas (para a equação na forma
com no nosso caso) são
onde
é o Wronskiano
.
- No nosso caso
. Vou calcular , depois integrar e e montar .
Passo 3
Calcular o Wronskiano
.
- Derivadas:
, . - Então
- Simplificando:
Portanto o Wronskiano é a constante
Passo 4
Escrever
e
e preparar as integrais.
- Pelas fórmulas,
- Precisamos então integrar essas funções para obter
e :
Vou calcular as duas integrais explicitamente (sem pular passos).
Passo 5
Calcular
e
por integração por partes (duas integrações para cada).
Defina
- Calcule
por partes: tome , . Então , .
Assim - Agora calcule
por partes: tome , . Então , .
Assim - Substitua a expressão de
na equação de : - Simplificar:
- Reúnir os termos em
:
-
Portanto
-
Agora use a relação
para obter : Colocando em comum fatore simplificando:
(A forma conhecida também é
, aqui
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Usar as integrais para obter
e
.
- Lembrando
Passo 7
Montar
e simplificar.
- Substituindo:
- Colocando as expressões:
- Fator comum
:
- Expandindo e somando termos:
Somando:
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