Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} da equação sabendo que a y_{c} foi calculada na lista Semanal 2.
y^{\prime \prime}+9 y=e^{4 x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A equação diferencial é y''+9y=e^{4x}.
  • O enunciado diz que a solução geral da homogênea y_c já foi calculada (da lista): a solução da homogênea associada é
y_c = C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x).
  • O que se pede aqui é encontrar uma solução particular y_p da equação não-homogênea usando o método de variação dos parâmetros.

Passo 2

Resumo do método de variação dos parâmetros (ideia e fórmulas que vou usar).
  • Seja y_1 e y_2 duas soluções fundamentais da equação homogênea. Aqui podemos escolher
y_1(x)=\cos(3x),\qquad y_2(x)=\sin(3x).
  • A variação dos parâmetros procura uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1 e u_2 são funções a determinar.
  • As fórmulas práticas (para a equação na forma y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) com p(x)=0 no nosso caso) são
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2.
  • No nosso caso g(x)=e^{4x}. Vou calcular W, depois integrar u_1' e u_2' e montar y_p.

Passo 3

Calcular o Wronskiano W(y_1,y_2).
  • Derivadas: y_1'(x)=-3\sin(3x), y_2'(x)=3\cos(3x).
  • Então
W(x)=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos(3x)\cdot 3\cos(3x)-\big(-3\sin(3x)\big)\cdot\sin(3x).
  • Simplificando:
W(x)=3\cos^2(3x)+3\sin^2(3x)=3\big(\cos^2(3x)+\sin^2(3x)\big)=3.
Portanto o Wronskiano é a constante \,W=3.

Passo 4

Escrever u_1' e u_2' e preparar as integrais.
  • Pelas fórmulas,
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W}=-\frac{\sin(3x)\,e^{4x}}{3}, \qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W}=\frac{\cos(3x)\,e^{4x}}{3}.
  • Precisamos então integrar essas funções para obter u_1 e u_2:
u_1(x)=-\frac{1}{3}\int e^{4x}\sin(3x)\,dx, \qquad u_2(x)=\frac{1}{3}\int e^{4x}\cos(3x)\,dx.
Vou calcular as duas integrais explicitamente (sem pular passos).

Passo 5

Calcular \displaystyle \int e^{4x}\cos(3x)\,dx e \displaystyle \int e^{4x}\sin(3x)\,dx por integração por partes (duas integrações para cada).
Defina
I=\int e^{4x}\cos(3x)\,dx,\qquad J=\int e^{4x}\sin(3x)\,dx.
  • Calcule I por partes: tome u=\cos(3x), dv=e^{4x}dx. Então du=-3\sin(3x)dx, v=\tfrac{1}{4}e^{4x}.
    Assim I=\frac{1}{4}e^{4x}\cos(3x)+\frac{3}{4}\int e^{4x}\sin(3x)\,dx=\frac{1}{4}e^{4x}\cos(3x)+\frac{3}{4}J.
  • Agora calcule J por partes: tome u=\sin(3x), dv=e^{4x}dx. Então du=3\cos(3x)dx, v=\tfrac{1}{4}e^{4x}.
    Assim J=\frac{1}{4}e^{4x}\sin(3x)-\frac{3}{4}\int e^{4x}\cos(3x)\,dx=\frac{1}{4}e^{4x}\sin(3x)-\frac{3}{4}I.
  • Substitua a expressão de J na equação de I: I=\frac{1}{4}e^{4x}\cos(3x)+\frac{3}{4}\Big(\frac{1}{4}e^{4x}\sin(3x)-\frac{3}{4}I\Big).
  • Simplificar: I=\frac{1}{4}e^{4x}\cos(3x)+\frac{3}{16}e^{4x}\sin(3x)-\frac{9}{16}I.
  • Reúnir os termos em I: I+\frac{9}{16}I=\frac{1}{4}e^{4x}\cos(3x)+\frac{3}{16}e^{4x}\sin(3x).
\frac{25}{16}I=e^{4x}\Big(\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{16}\sin(3x)\Big).
  • Portanto
    I=\frac{16}{25}e^{4x}\Big(\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{16}\sin(3x)\Big) =e^{4x}\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{25}.
  • Agora use a relação J=\frac{1}{4}e^{4x}\sin(3x)-\frac{3}{4}I para obter J:
    J=\frac{1}{4}e^{4x}\sin(3x)-\frac{3}{4}\cdot e^{4x}\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{25}.
    Colocando em comum fator e^{4x} e simplificando:
    J=e^{4x}\Big(\frac{1}{4}\sin(3x)-\frac{3}{25}\cdot\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{4}\Big) =e^{4x}\frac{4\sin(3x)-3\cos(3x)}{25}.
(A forma conhecida também é \int e^{ax}\cos(bx)\,dx=e^{ax}\dfrac{a\cos(bx)+b\sin(bx)}{a^2+b^2}, aqui a=4,b=3, que dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Usar as integrais para obter u_1 e u_2.
  • Lembrando
u_1(x)=-\frac{1}{3}J=-\frac{1}{3}\cdot e^{4x}\frac{4\sin(3x)-3\cos(3x)}{25} =-e^{4x}\frac{4\sin(3x)-3\cos(3x)}{75}.
u_2(x)=\frac{1}{3}I=\frac{1}{3}\cdot e^{4x}\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{25} =e^{4x}\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{75}.

Passo 7

Montar y_p=u_1y_1+u_2y_2 e simplificar.
  • Substituindo:
y_p(x)=u_1(x)\cos(3x)+u_2(x)\sin(3x).
  • Colocando as expressões:
y_p(x)= -e^{4x}\frac{4\sin(3x)-3\cos(3x)}{75}\cos(3x) + e^{4x}\frac{4\cos(3x)+3\sin(3x)}{75}\sin(3x).
  • Fator comum e^{4x}/75:
y_p(x)=\frac{e^{4x}}{75}\Big[-\cos(3x)\big(4\sin(3x)-3\cos(3x)\big) +\sin(3x)\big(4\cos(3x)+3\sin(3x)\big)\Big].
  • Expandindo e somando termos:
-\cos(3x)(4\sin(3x)-3\cos(3x)) = -4\cos(3x)\sin(3x)+3\cos^2(3x),
\sin(3x)(4\cos(3x)+3\sin(3x)) = 4\sin(3x)\cos(3x)+3\sin^2(3x).
Somando:
(-4\cos\sin+3\cos^2)+(4\sin\cos+3\sin^2)=3(\cos^2(3x)+\sin^2(3x))=3.
  • Logo
y_p(x)=\frac{e^{4x}}{75}\cdot 3=\frac{e^{4x}}{25}.

Resposta

y_p=\dfrac{1}{25}e^{4x}

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