Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
e^{x} y^{\prime \prime}+\operatorname{sen}(x) y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação
e^{x} y''+\operatorname{sen}(x)\,y'=x.
As informações que temos (retiradas diretamente da equação):
  • a incógnita é y que depende de x (ou seja, y=y(x));
  • aparecem as derivadas y' e y'';
  • o termo do lado direito é x (não zero);
  • os coeficientes que multiplicam as derivadas são funções de x: e^{x} e \operatorname{sen}(x).
O que o enunciado pede: classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.

Passo 2

Primeiro vamos decidir a ordem. Definição (explicada com calma): a ordem de uma equação é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for y^{(3)} (terceira derivada), a equação é de ordem 3.
Aplicando aqui: as derivadas presentes são y' (primeira) e y'' (segunda). A maior delas é y''. Portanto a ordem é 2. Em notação: ordem 2.

Passo 3

Agora vamos falar de linearidade. Primeiro, a definição prática e útil para a prova:
  • Uma equação é linear (de ordem n) se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) dependem somente de x (podem ser funções complicadas de x) e não dependem de y. O membro g(x) também depende só de x. A característica é que y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem termos como (y')^2, y^2, \sin(y), y\,y', etc.).
  • Se a equação não satisfaz isso (por exemplo tem y^2 ou \sin(y) ou produtos entre y e suas derivadas), então é não linear.
Uma observação útil: se g(x)\equiv 0 dizemos que a equação é homogênea; se g(x)\not\equiv 0 é não homogênea.

Passo 4

Vamos colocar a equação numa forma padrão dividindo por e^{x} (isso é permitido porque e^{x}\neq 0 para todo x):
y'' + \frac{\operatorname{sen}(x)}{e^{x}}\,y' = \frac{x}{e^{x}}.
Comparando com a forma geral da linha anterior, temos:
a_2(x)=1,\qquad a_1(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{e^{x}},\qquad a_0(x)=0,\qquad g(x)=\frac{x}{e^{x}}.
Cada a_i depende apenas de x e y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (não há y^2, nem \sin(y), nem produtos entre derivadas). Logo a equação é linear.
Além disso, como g(x)=\dfrac{x}{e^{x}} não é identicamente zero, a equação é não homogênea.

Passo 5

Tipo: agora é hora de nomear o tipo mais específico. Há duas distinções comuns que valem mencionar para a prova:
  • ordinária versus parcial: se as derivadas são em relação a uma única variável (aqui só aparece x), é uma equação ordinária;
  • coeficientes constantes versus variáveis: se os coeficientes a_i são constantes numéricas, diz-se coeficientes constantes; se dependem de x, são coeficientes variáveis. Aqui os coeficientes dependem de x (por exemplo \operatorname{sen}(x)/e^{x}), então são variáveis.
Assim, a equação é uma equação de ordem 2, ordinária (EDO), linear de coeficientes variáveis e não homogênea.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária de ordem 2 com coeficientes variáveis (EDO linear de coeficientes variáveis), não homogênea.
Ordem: 2.
Linearidade: linear (não homogênea).

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