Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
As informações que temos (retiradas diretamente da equação):
- a incógnita é
que depende de (ou seja, ); - aparecem as derivadas
e ; - o termo do lado direito é
(não zero); - os coeficientes que multiplicam as derivadas são funções de
: e .
O que o enunciado pede: classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Passo 2
Primeiro vamos decidir a ordem. Definição (explicada com calma): a ordem de uma equação é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for
(terceira derivada), a equação é de ordem
.
Aplicando aqui: as derivadas presentes são
(primeira) e
(segunda). A maior delas é
. Portanto a ordem é
. Em notação: ordem
.
Passo 3
Agora vamos falar de linearidade. Primeiro, a definição prática e útil para a prova:
- Uma equação é linear (de ordem
) se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
dependem somente de
(podem ser funções complicadas de
) e não dependem de
. O membro
também depende só de
. A característica é que
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem termos como
,
,
,
, etc.).
- Se a equação não satisfaz isso (por exemplo tem
ou ou produtos entre e suas derivadas), então é não linear.
Uma observação útil: se
dizemos que a equação é homogênea; se
é não homogênea.
Passo 4
Vamos colocar a equação numa forma padrão dividindo por
(isso é permitido porque
para todo
):
Comparando com a forma geral da linha anterior, temos:
Cada
depende apenas de
e
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (não há
, nem
, nem produtos entre derivadas). Logo a equação é linear.
Além disso, como
não é identicamente zero, a equação é não homogênea.
Passo 5
Tipo: agora é hora de nomear o tipo mais específico. Há duas distinções comuns que valem mencionar para a prova:
- ordinária versus parcial: se as derivadas são em relação a uma única variável (aqui só aparece
), é uma equação ordinária; - coeficientes constantes versus variáveis: se os coeficientes
são constantes numéricas, diz-se coeficientes constantes; se dependem de , são coeficientes variáveis. Aqui os coeficientes dependem de (por exemplo ), então são variáveis.
Assim, a equação é uma equação de ordem
, ordinária (EDO), linear de coeficientes variáveis e não homogênea.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária de ordem
com coeficientes variáveis (EDO linear de coeficientes variáveis), não homogênea.
Ordem: .
Linearidade: linear (não homogênea).
Ordem:
Linearidade: linear (não homogênea).