Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear). (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a equação diferencial dada quanto a três coisas: ordem, grau e tipo (linear ou não linear). A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é
e a independente é . - Aparecem derivadas de
até a segunda ordem ( ). - Os coeficientes dos termos são constantes (
e ). - O segundo membro é
(a equação é homogênea).
Passo 2
O que é ordem de uma equação diferencial e como determiná-la:
- Ordem é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Para determinar, basta olhar qual a derivada de maior ordem presente.
Aplicando ao caso: a maior derivada que aparece é
, ou seja, a derivada de ordem
. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que é grau de uma equação diferencial e como determiná-lo:
- Grau é o expoente (grau) do maior derivada quando a equação é escrita como um polinómio nas derivadas (ou seja, depois de eliminar raízes, frações que envolvam derivadas e expressões não polinomiais).
- Em outras palavras: escreva a equação de modo que as derivadas apareçam como termos polinomiais; o grau é o maior expoente em que aparece a maior derivada.
Aplicando ao caso: a maior derivada
aparece com expoente
(está apenas multiplicada por
). Não há raízes nem frações envolvendo derivadas. Portanto o grau é
.
Passo 4
O que significa ser linear ou não linear e como verificar:
- Uma equação diferencial é linear se
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem produtos entre e suas derivadas, não aparecem potências como ou , nem funções não-lineares de como , , etc.). - A forma geral de uma equação linear de ordem
é
onde os
e
são funções apenas de
(podem ser constantes).
Analisando a equação dada:
- Os termos são
, e . - Cada um desses termos é linear em
ou em suas derivadas (estão multiplicados por constantes). - Não há produtos entre
e suas derivadas, nem potências de além da potência , nem funções não-lineares de .
Logo a equação é linear. (Além disso, por ter o lado direito igual a
, é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, mas isso é um extra não pedido explicitamente.)
Passo 5
Resumo didático rápido e exemplos para fixar:
- Exemplo de equação linear (semelhante à dada):
— linear porque , e aparecem só na potência . - Exemplo de equação não linear:
— não linear porque tem potência da derivada. - Para a equação que você trouxe, a presença de coeficientes constantes e de derivadas apenas na potência
deixa tudo bem “comportado”: ordem , grau , linear.
Resposta
Ordem:
Grau:
Tipo: linear
Grau:
Tipo: linear