Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear). (1,0 ponto)
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação diferencial dada quanto a três coisas: ordem, grau e tipo (linear ou não linear). A equação fornecida é
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é y e a independente é x.
  • Aparecem derivadas de y até a segunda ordem ( \frac{d^2 y}{dx^2}).
  • Os coeficientes dos termos são constantes ( -5 e 6).
  • O segundo membro é 0 (a equação é homogênea).

Passo 2

O que é ordem de uma equação diferencial e como determiná-la:
  • Ordem é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Para determinar, basta olhar qual a derivada de maior ordem presente.
Aplicando ao caso: a maior derivada que aparece é \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, ou seja, a derivada de ordem 2. Portanto a ordem é 2.

Passo 3

O que é grau de uma equação diferencial e como determiná-lo:
  • Grau é o expoente (grau) do maior derivada quando a equação é escrita como um polinómio nas derivadas (ou seja, depois de eliminar raízes, frações que envolvam derivadas e expressões não polinomiais).
  • Em outras palavras: escreva a equação de modo que as derivadas apareçam como termos polinomiais; o grau é o maior expoente em que aparece a maior derivada.
Aplicando ao caso: a maior derivada \frac{d^{2} y}{d x^{2}} aparece com expoente 1 (está apenas multiplicada por 1). Não há raízes nem frações envolvendo derivadas. Portanto o grau é 1.

Passo 4

O que significa ser linear ou não linear e como verificar:
  • Uma equação diferencial é linear se y e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem produtos entre y e suas derivadas, não aparecem potências como y^2 ou (y')^3, nem funções não-lineares de y como \sin(y), e^{y}, etc.).
  • A forma geral de uma equação linear de ordem n é
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os a_i(x) e g(x) são funções apenas de x (podem ser constantes).
Analisando a equação dada:
  • Os termos são \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, -5\frac{d y}{d x} e 6y.
  • Cada um desses termos é linear em y ou em suas derivadas (estão multiplicados por constantes).
  • Não há produtos entre y e suas derivadas, nem potências de y além da potência 1, nem funções não-lineares de y.
Logo a equação é linear. (Além disso, por ter o lado direito igual a 0, é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, mas isso é um extra não pedido explicitamente.)

Passo 5

Resumo didático rápido e exemplos para fixar:
  • Exemplo de equação linear (semelhante à dada): \;y''+3y'-2y= \sin x\; — linear porque y'', y' e y aparecem só na potência 1.
  • Exemplo de equação não linear: \;y'' + (y')^2 - y = 0\; — não linear porque (y')^2 tem potência 2 da derivada.
  • Para a equação que você trouxe, a presença de coeficientes constantes e de derivadas apenas na potência 1 deixa tudo bem “comportado”: ordem 2, grau 1, linear.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Tipo: linear

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