Questão 5. Determine as assíntotas oblíquas da função f(x)=\frac{2 x^{5}+3 x^{4}+2 x+6}{x^{4}+2}.
i) (0.8) Calculou corretamente o limite m=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{5}+3 x^{4}+2 x+6}{x^{5}+2 x}=2.
ii) (0.8) Calculou corretamente o limite n=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-2 x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{5}+3 x^{4}+2 x+6}{x^{4}+2}-2 x=3.
iii) (0.4) Concluiu que y=2 x+3 é assíntota oblíqua para ambos os casos x \rightarrow \infty e x \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas oblíquas da função f(x)=\frac{2 x^{5}+3 x^{4}+2 x+6}{x^{4}+2}.
Informações relevantes dadas (explicitando o que temos):
  • A função racional tem numerador de grau 5 e denominador de grau 4.
  • Em geral, quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador, espera‑se uma assíntota oblíqua da forma \;y=m x+n\;.
  • O enunciado mencionado na pergunta sugere calcular os limites \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} (para obter m) e \lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx] (para obter n).

Passo 2

Conceito e critério (explicação didática):
Uma reta \;y=m x+n\; é assíntota oblíqua da função f quando, ao afastarmo‑nos para infinito, a diferença f(x)- (m x+n) tende a zero. Ou seja, existe uma linha cuja distância vertical para o gráfico de f vai a zero quando x\to\infty (ou x\to-\infty). Formalmente, se existirem limites finitos
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-m x\bigr),
então y=m x+n é a assíntota oblíqua correspondente. Uma forma prática e segura de encontrar m e n é fazer a divisão de polinômios (divisão euclidiana): dividir o numerador pelo denominador. Se a divisão der um quociente linear 2x+3 e resto de grau menor que o denominador, esse quociente é a reta candidata e o resto/denominador tende a zero em \pm\infty. Vou fazer isso passo a passo (porque dividir polinômios na caneta é o jeito mais direto em prova).

Passo 3

Preparando a divisão: escrever os polinômios completos, incluindo termos de grau ausentes no divisor para ficar claro:
\text{dividendo }=2x^{5}+3x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+2x+6, \qquad \text{divisor }=x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+2.
Vamos dividir 2x^{5}+3x^{4}+\cdots por x^{4}+2.

Passo 4

Primeiro termo do quociente: dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{2x^{5}}{x^{4}}=2x.
Multiplico o divisor por 2x:
2x\cdot(x^{4}+2)=2x^{5}+4x.
Subtraio esse produto do dividendo (alinhar os termos por grau):
(2x^{5}+3x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+2x+6) - (2x^{5}+0x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+4x+0) =3x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+(2x-4x)+6.
Logo o resto após essa etapa é
3x^{4}-2x+6.

Passo 5

Segundo termo do quociente: dividir o novo maior termo do resto pelo maior termo do divisor:
\frac{3x^{4}}{x^{4}}=3.
Multiplico o divisor por 3:
3\cdot(x^{4}+2)=3x^{4}+6.
Subtraio:
(3x^{4}-2x+6)-(3x^{4}+6)=-2x.
Então o algoritmo de divisão termina com quociente 2x+3 e resto -2x. Em forma de igualdade:
2x^{5}+3x^{4}+2x+6=(x^{4}+2)(2x+3)+(-2x).

Passo 6

Reescrevendo f(x) usando o resultado da divisão:
f(x)=\frac{2 x^{5}+3 x^{4}+2 x+6}{x^{4}+2}=2x+3+\frac{-2x}{x^{4}+2}.
Esta expressão é muito útil: mostra a função como uma reta 2x+3 mais um termo de resto.

Passo 7

Analisar o termo de resto quando x\to\pm\infty. Mostrar que ele tende a zero:
Calcular
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x}{x^{4}+2}.
Dividindo numerador e denominador por x^{4} (para ver o comportamento em infinito):
\frac{-2x}{x^{4}+2}=\frac{-2/x^{3}}{1+2/x^{4}}.
Quando x\to\infty ou x\to-\infty, termos \frac{2}{x^{4}} e \frac{2}{x^{3}} tendem a 0. Assim
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x}{x^{4}+2}=0.
Portanto a diferença entre f(x) e 2x+3 tende a zero tanto para x\to\infty quanto para x\to-\infty.

Passo 8

Conclusão prática: como \;f(x)=2x+3+\text{(resto)}\; com o resto tendendo a 0 em ambos os sentidos, a reta
y=2x+3
é a assíntota oblíqua de f(x) para x\to\infty e para x\to-\infty.

Passo 9

Verificação pelos limites (conferindo os itens sugeridos no enunciado):
  • Para m:
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+3+\dfrac{-2x}{x^{4}+2}}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(2+\frac{3}{x}+\frac{-2x}{x(x^{4}+2)}\Bigr)=2.
(ou simplesmente ver pelo termo dominante: f(x)\sim 2x quando |x| grande).
  • Para n:
n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(3+\frac{-2x}{x^{4}+2}\Bigr)=3.
Isso confirma os valores m=2 e n=3 e, portanto, a reta y=2x+3.

Resposta

y=2x+3

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