Questão 5. Determine as assíntotas oblíquas da função
.
i) (0.8) Calculou corretamente o limite
.
ii) (0.8) Calculou corretamente o limite
.
iii) (0.4) Concluiu que
é assíntota oblíqua para ambos os casos
e
.
i) (0.8) Calculou corretamente o limite
ii) (0.8) Calculou corretamente o limite
iii) (0.4) Concluiu que
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas oblíquas da função
Informações relevantes dadas (explicitando o que temos):
- A função racional tem numerador de grau
e denominador de grau . - Em geral, quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador, espera‑se uma assíntota oblíqua da forma
. - O enunciado mencionado na pergunta sugere calcular os limites
(para obter ) e (para obter ).
Passo 2
Conceito e critério (explicação didática):
Uma reta é assíntota oblíqua da função
quando, ao afastarmo‑nos para infinito, a diferença
tende a zero. Ou seja, existe uma linha cuja distância vertical para o gráfico de
vai a zero quando
(ou
). Formalmente, se existirem limites finitos
Uma reta
então
é a assíntota oblíqua correspondente. Uma forma prática e segura de encontrar
e
é fazer a divisão de polinômios (divisão euclidiana): dividir o numerador pelo denominador. Se a divisão der um quociente linear
e resto de grau menor que o denominador, esse quociente é a reta candidata e o resto/denominador tende a zero em
. Vou fazer isso passo a passo (porque dividir polinômios na caneta é o jeito mais direto em prova).
Passo 3
Preparando a divisão: escrever os polinômios completos, incluindo termos de grau ausentes no divisor para ficar claro:
Vamos dividir
por
.
Passo 4
Primeiro termo do quociente: dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
Multiplico o divisor por
:
Subtraio esse produto do dividendo (alinhar os termos por grau):
Logo o resto após essa etapa é
Passo 5
Segundo termo do quociente: dividir o novo maior termo do resto pelo maior termo do divisor:
Multiplico o divisor por
:
Subtraio:
Então o algoritmo de divisão termina com quociente
e resto
. Em forma de igualdade:
Passo 6
Reescrevendo
usando o resultado da divisão:
Esta expressão é muito útil: mostra a função como uma reta
mais um termo de resto.
Passo 7
Analisar o termo de resto quando
. Mostrar que ele tende a zero:
Calcular
Calcular
Dividindo numerador e denominador por
(para ver o comportamento em infinito):
Quando
ou
, termos
e
tendem a
. Assim
Portanto a diferença entre
e
tende a zero tanto para
quanto para
.
Passo 8
Conclusão prática: como
com o resto tendendo a
em ambos os sentidos, a reta
é a assíntota oblíqua de
para
e para
.
Passo 9
Verificação pelos limites (conferindo os itens sugeridos no enunciado):
- Para
:
(ou simplesmente ver pelo termo dominante:
quando
grande).
- Para
:
Isso confirma os valores
e
e, portanto, a reta
.