Questão 4. Mostre que a função
admite pelo menos uma raíz real.
i) (0.6) Encontrou dois valores
e
de modo que
tenha sinais opostos nesses valores. Por exemplo,
e
.
ii) (0.5) Justificou que
é função contínua no intervalo
pois é polinômio.
iii) (0.5) Citou o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema do Anulamento) para concluir que
tem pelo menos uma raíz em
e, consequentemente, terá pelo menos uma raíz nos reais.
i) (0.6) Encontrou dois valores
ii) (0.5) Justificou que
iii) (0.5) Citou o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema do Anulamento) para concluir que
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado:
- Pede-se para mostrar que a função
admite pelo menos uma raiz real. - O enunciado sugere encontrar dois números
e com sinais opostos para . Um exemplo sugerido é e , com as informações (fornecidas no enunciado) de que e . - A estratégia é: mostrar que há mudança de sinal entre
e , justificar que é contínua em e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para concluir a existência de uma raiz em .
Passo 2
Calcular
passo a passo (substituir
em
):
Agora avaliar termo a termo:
Somando tudo:
Agrupando:
Portanto
Passo 3
Calcular
substituindo
em
:
Todos os termos com
anulam-se, ficando
Passo 4
Concluir que
e
têm sinais opostos:
Logo há uma mudança de sinal entre os pontos
e
.
Passo 5
Justificar que
é contínua em
:
- Definição simples: uma função é contínua em um ponto
se os valores de se aproximam de quando se aproxima de . - Fato útil (e simples de usar): polinômios são funções construídas por soma e produto das funções identidade
e constantes; soma e produto de funções contínuas são contínuos. Portanto qualquer polinômio é contínuo em todo . - Assim
é contínua em todo , em particular em .
Passo 6
Enunciar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário:
- Teorema do Valor Intermediário (versão usada): se
é contínua em e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que . - Aplicando ao nosso caso com
, e : - já mostramos que
é contínua em ; - temos
e , logo .
- já mostramos que
- Pelo Teorema do Valor Intermediário existe então algum
com
Passo 7
Conclusão e comentário final:
- Encontrou-se explicitamente um intervalo fechado
onde é contínua e com valores de sinais opostos nas extremidades; pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Portanto
admite pelo menos uma raiz real. (Pode haver mais de uma, mas a prova garante ao menos uma.)
Resposta
Existe
tal que
. Logo
tem pelo menos uma raiz real.