Questão 4. Mostre que a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+1 admite pelo menos uma raíz real.
i) (0.6) Encontrou dois valores a e b de modo que f tenha sinais opostos nesses valores. Por exemplo, f(-2)=-23<0 e f(0)=1>0.
ii) (0.5) Justificou que f é função contínua no intervalo [a, b] pois é polinômio.
iii) (0.5) Citou o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema do Anulamento) para concluir que f tem pelo menos uma raíz em (a, b) e, consequentemente, terá pelo menos uma raíz nos reais.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado:
  • Pede-se para mostrar que a função f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x+1 admite pelo menos uma raiz real.
  • O enunciado sugere encontrar dois números a e b com sinais opostos para f. Um exemplo sugerido é a=-2 e b=0, com as informações (fornecidas no enunciado) de que f(-2)=-23<0 e f(0)=1>0.
  • A estratégia é: mostrar que há mudança de sinal entre a e b, justificar que f é contínua em [a,b] e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para concluir a existência de uma raiz em (a,b).

Passo 2

Calcular f(-2) passo a passo (substituir x=-2 em f):
f(-2)=(-2)^{3}-3(-2)^{2}+2(-2)+1.
Agora avaliar termo a termo:
(-2)^{3}=-8, \qquad (-2)^{2}=4, \qquad -3\cdot4=-12, \qquad 2(-2)=-4.
Somando tudo:
f(-2)=-8-12-4+1.
Agrupando:
-8-12=-20,\qquad -20-4=-24,\qquad -24+1=-23.
Portanto
f(-2)=-23<0.

Passo 3

Calcular f(0) substituindo x=0 em f:
f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+2\cdot0+1.
Todos os termos com 0 anulam-se, ficando
f(0)=1>0.

Passo 4

Concluir que f(-2) e f(0) têm sinais opostos:
f(-2)=-23<0\quad\text{e}\quad f(0)=1>0.
Logo há uma mudança de sinal entre os pontos x=-2 e x=0.

Passo 5

Justificar que f é contínua em [-2,0]:
  • Definição simples: uma função é contínua em um ponto x_0 se os valores de f(x) se aproximam de f(x_0) quando x se aproxima de x_0.
  • Fato útil (e simples de usar): polinômios são funções construídas por soma e produto das funções identidade x\mapsto x e constantes; soma e produto de funções contínuas são contínuos. Portanto qualquer polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}.
  • Assim f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x+1 é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [-2,0].

Passo 6

Enunciar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário:
  • Teorema do Valor Intermediário (versão usada): se g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Aplicando ao nosso caso com g=f, a=-2 e b=0:
    • já mostramos que f é contínua em [-2,0];
    • temos f(-2)=-23<0 e f(0)=1>0, logo f(-2)\cdot f(0)<0.
  • Pelo Teorema do Valor Intermediário existe então algum c com
c\in(-2,0)\quad\text{e}\quad f\text{(c)}=0.

Passo 7

Conclusão e comentário final:
  • Encontrou-se explicitamente um intervalo fechado [-2,0] onde f é contínua e com valores de sinais opostos nas extremidades; pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (-2,0).
  • Portanto f admite pelo menos uma raiz real. (Pode haver mais de uma, mas a prova garante ao menos uma.)

Resposta

Existe c\in(-2,0) tal que f\text{(c)}=0. Logo f tem pelo menos uma raiz real.

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