Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear). (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial abaixo e pede que ela seja classificada quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita dependente é
e a independente é . - Aparece a derivada
elevada ao quadrado. - O enunciado pede três coisas separadas: (1) a ordem da equação diferencial; (2) o grau da equação diferencial; (3) se a equação é linear ou não linear.
Passo 2
Definição e entendimento prático: ordem de uma equação diferencial.
- A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Em outras palavras, procure todas as derivadas (
) e veja qual é a de maior ordem. Esse número é a ordem da equação.
Exemplo curto para fixar: a equação
tem ordem
porque a derivada de maior ordem presente é
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema:
- Na equação
a derivada que aparece é , que é a derivada de primeira ordem (também escrita ). - Não aparece
nem derivadas de ordem maior.
Portanto a ordem da equação é
.
Passo 4
Definição e entendimento prático: grau de uma equação diferencial.
- O grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior grau entre as derivadas, após a equação ter sido escrita de forma polinomial em todas as derivadas (ou seja, sem frações, raízes ou funções transcendentais envolvendo derivadas).
- Observação importante: o grau só está definido quando a equação é um polinômio em todas as derivadas. Se houver, por exemplo,
ou ou , então o grau não é definido.
Exemplos rápidos:
-
tem grau . -
tem grau indefinido (não é polinomial em ).
Passo 5
Verificação da condição de polinomialidade no nosso caso:
- A equação dada é
. Ela já está escrita em forma polinomial nas derivadas: a única derivada presente é e aparece elevada ao quadrado, sem raízes, sem frações envolvendo a derivada e sem funções transcendentes de . - Logo a equação é polinomial em relação a
, então o grau está bem definido.
Passo 6
Cálculo do grau:
- Como a derivada de maior ordem é
(ordem ) e ela aparece com expoente em , o grau da equação é .
Passo 7
Definição e entendimento prático: linearidade de uma equação diferencial.
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo do lado direito
dependem no máximo da variável independente
(podem ser funções de
), mas não dependem de
nem de derivadas de
, e não há produtos nem potências das derivadas ou de
(além do próprio termo linear
).
- Se houver potências de
ou de , produtos entre e suas derivadas, ou outras operações não lineares (como , , , etc.), a equação é não linear.
Passo 8
Aplicando o critério de linearidade à equação dada:
- A presença de
é uma potência da derivada, ou seja, um termo não linear em relação a . - Mesmo que o termo
seja linear em , o termo já torna a equação não linear, pois viola a forma linear exigida (aparecem potências da derivada).
Portanto a equação é do tipo não linear.
Passo 9
Resumo final das classificações obtidas:
- Ordem:
. - Grau:
. - Tipo: não linear.
Resposta
Ordem:
Grau:
Tipo: não linear
Grau:
Tipo: não linear