Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear). (1,0 ponto)
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+x y=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial abaixo e pede que ela seja classificada quanto à ordem, ao grau e ao tipo (linear ou não linear):
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+x y=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita dependente é y e a independente é x.
  • Aparece a derivada \dfrac{dy}{dx} elevada ao quadrado.
  • O enunciado pede três coisas separadas: (1) a ordem da equação diferencial; (2) o grau da equação diferencial; (3) se a equação é linear ou não linear.

Passo 2

Definição e entendimento prático: ordem de uma equação diferencial.
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Em outras palavras, procure todas as derivadas ( y', y'', y^{(3)},\dots) e veja qual é a de maior ordem. Esse número é a ordem da equação.
Exemplo curto para fixar: a equação \,y''+3y'-y=0 tem ordem 2 porque a derivada de maior ordem presente é y''.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema:
  • Na equação \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+x y=1 a derivada que aparece é \dfrac{dy}{dx}, que é a derivada de primeira ordem (também escrita y').
  • Não aparece y'' nem derivadas de ordem maior.
Portanto a ordem da equação é \;1.

Passo 4

Definição e entendimento prático: grau de uma equação diferencial.
  • O grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior grau entre as derivadas, após a equação ter sido escrita de forma polinomial em todas as derivadas (ou seja, sem frações, raízes ou funções transcendentais envolvendo derivadas).
  • Observação importante: o grau só está definido quando a equação é um polinômio em todas as derivadas. Se houver, por exemplo, \sin(y') ou \sqrt{y'} ou 1/y', então o grau não é definido.
Exemplos rápidos:
  • \,(y')^3 + y = 0 tem grau 3.
  • \,\sin(y') + y = 0 tem grau indefinido (não é polinomial em y').

Passo 5

Verificação da condição de polinomialidade no nosso caso:
  • A equação dada é \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+x y=1. Ela já está escrita em forma polinomial nas derivadas: a única derivada presente é \dfrac{dy}{dx} e aparece elevada ao quadrado, sem raízes, sem frações envolvendo a derivada e sem funções transcendentes de \dfrac{dy}{dx}.
  • Logo a equação é polinomial em relação a \dfrac{dy}{dx}, então o grau está bem definido.

Passo 6

Cálculo do grau:
  • Como a derivada de maior ordem é y' (ordem 1) e ela aparece com expoente 2 em \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2, o grau da equação é \;2.

Passo 7

Definição e entendimento prático: linearidade de uma equação diferencial.
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = b(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo do lado direito b(x) dependem no máximo da variável independente x (podem ser funções de x), mas não dependem de y nem de derivadas de y, e não há produtos nem potências das derivadas ou de y (além do próprio termo linear a_0(x)y).
  • Se houver potências de y ou de y', produtos entre y e suas derivadas, ou outras operações não lineares (como (y')^2, y\cdot y', \sin(y'), etc.), a equação é não linear.

Passo 8

Aplicando o critério de linearidade à equação dada:
  • A presença de \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} é uma potência da derivada, ou seja, um termo não linear em relação a y'.
  • Mesmo que o termo x y seja linear em y, o termo \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} já torna a equação não linear, pois viola a forma linear exigida (aparecem potências da derivada).
Portanto a equação é do tipo não linear.

Passo 9

Resumo final das classificações obtidas:
  • Ordem: 1.
  • Grau: 2.
  • Tipo: não linear.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 2
Tipo: não linear

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