Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
2 t y_{t t t}-t^{2} y_{t}+(\cos t) y=t^{4};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
2t\,y_{ttt}-t^{2}y_{t}+(\cos t)\,y=t^{4}
quanto a três formas de classificação. Vou considerar e responder explicitamente as três classificações mais pedidas: (i) ordem da equação; (ii) linearidade (linear ou não linear) — incluindo observação sobre coeficientes; (iii) se é homogênea ou não (equação linear homogênea versus não homogênea). As informações dadas são exatamente os termos da equação acima (não há outras condições iniciais).

Passo 2

Ordem da equação.
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece nela. Aqui aparecem as derivadas de y até a terceira derivada y_{ttt}. Logo a ordem é 3, isto é, é uma equação diferencial de ordem três.

Passo 3

Linearidade — explicação do conceito.
Uma equação diferencial é dita linear em y se aparece apenas combinações lineares de y e das suas derivadas (coeficientes que podem depender de t), sem termos onde y ou suas derivadas se multipliquem entre si, nem funções não-lineares de y como \sin y, y^2, e^{y} etc.
Na equação dada os termos que envolvem a incógnita são 2t\,y_{ttt}, -t^{2}y_{t} e (\cos t)\,y — cada um é um coeficiente (função de t) multiplicando linearmente uma derivada de y. Do lado direito aparece t^{4}, que é função de t apenas. Não há produtos entre y e y', nem y^2, nem \sin y, etc. Portanto a equação é linear em y.

Passo 4

Coeficientes constantes ou variáveis; observação sobre domínio.
Uma equação linear tem coeficientes constantes quando esses coeficientes são números fixos; aqui os coeficientes dependem de t ( 2t, -t^{2}, \cos t), então são coeficientes variáveis. É comum colocar a equação na forma padrão dividindo pelo coeficiente principal; dividindo por 2t (isto só é válido em intervalos onde t\neq0) obtemos
y_{ttt}-\frac{t}{2}\,y_{t}+\frac{\cos t}{2t}\,y=\frac{t^{3}}{2},
o que deixa explícito que os coeficientes são funções de t. Observação prática: a divisão por 2t exige trabalhar em intervalos que não contenham t=0 (caso contrário a equação muda de forma naquele ponto).

Passo 5

Homogeneidade (homogênea vs não homogênea).
Definição rápida: uma equação diferencial linear é homogênea se o termo do lado direito é zero para todos t; é não homogênea (ou inhomogênea) se o lado direito é uma função não nula de t. Na nossa equação o lado direito é t^{4}, que não é a função zero. Logo a equação é não homogênea (inhomogênea).

Resposta

Ordem: 3
Linearidade: linear (equação linear em y), com coeficientes variáveis (dependem de t) — atenção: ao dividir pelo coeficiente principal 2t deve-se excluir t=0.
Homogeneidade: não homogênea (lado direito \;t^{4}\neq0).

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