Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
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Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
quanto a três formas de classificação. Vou considerar e responder explicitamente as três classificações mais pedidas: (i) ordem da equação; (ii) linearidade (linear ou não linear) — incluindo observação sobre coeficientes; (iii) se é homogênea ou não (equação linear homogênea versus não homogênea). As informações dadas são exatamente os termos da equação acima (não há outras condições iniciais).
Passo 2
Ordem da equação.
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece nela. Aqui aparecem as derivadas de até a terceira derivada
. Logo a ordem é 3, isto é, é uma equação diferencial de ordem três.
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece nela. Aqui aparecem as derivadas de
Passo 3
Linearidade — explicação do conceito.
Uma equação diferencial é dita linear em se aparece apenas combinações lineares de
e das suas derivadas (coeficientes que podem depender de
), sem termos onde
ou suas derivadas se multipliquem entre si, nem funções não-lineares de
como
,
,
etc.
Na equação dada os termos que envolvem a incógnita são ,
e
— cada um é um coeficiente (função de
) multiplicando linearmente uma derivada de
. Do lado direito aparece
, que é função de
apenas. Não há produtos entre
e
, nem
, nem
, etc. Portanto a equação é linear em
.
Uma equação diferencial é dita linear em
Na equação dada os termos que envolvem a incógnita são
Passo 4
Coeficientes constantes ou variáveis; observação sobre domínio.
Uma equação linear tem coeficientes constantes quando esses coeficientes são números fixos; aqui os coeficientes dependem de (
,
,
), então são coeficientes variáveis. É comum colocar a equação na forma padrão dividindo pelo coeficiente principal; dividindo por
(isto só é válido em intervalos onde
) obtemos
Uma equação linear tem coeficientes constantes quando esses coeficientes são números fixos; aqui os coeficientes dependem de
o que deixa explícito que os coeficientes são funções de
. Observação prática: a divisão por
exige trabalhar em intervalos que não contenham
(caso contrário a equação muda de forma naquele ponto).
Passo 5
Homogeneidade (homogênea vs não homogênea).
Definição rápida: uma equação diferencial linear é homogênea se o termo do lado direito é zero para todos ; é não homogênea (ou inhomogênea) se o lado direito é uma função não nula de
. Na nossa equação o lado direito é
, que não é a função zero. Logo a equação é não homogênea (inhomogênea).
Definição rápida: uma equação diferencial linear é homogênea se o termo do lado direito é zero para todos
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (equação linear em ), com coeficientes variáveis (dependem de
) — atenção: ao dividir pelo coeficiente principal
deve-se excluir
.
Homogeneidade: não homogênea (lado direito ).
Linearidade: linear (equação linear em
Homogeneidade: não homogênea (lado direito