( 2,5 pontos) Encontre o valor de y_{0} para que a solução do problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}-y=2-3 e^{-x}, y(0)=y_{0}
tenha valor finito quando x \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}-y=2-3 e^{-x},\qquad y(0)=y_{0}.
O que é pedido: encontrar o valor de y_{0} tal que a solução y(x) do problema tenha valor finito quando x\to+\infty.
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear (tem a forma \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), aqui reorganizável).
  • A condição inicial é y(0)=y_{0}.
  • É necessário analisar o comportamento da solução quando x\to+\infty.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma padrão \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x). A equação dada é
\frac{dy}{dx}-y=2-3e^{-x},
portanto, identificamos
p(x)=-1,\qquad q(x)=2-3e^{-x}.
Aqui p(x) é a função que multiplica y no lado esquerdo e q(x) é o termo do lado direito que depende de x. O objetivo agora é resolver a ODE geral para obter y(x) em função de uma constante arbitrária C que será fixada pela condição inicial.

Passo 3

Método do fator integrante (explicação didática):
  • Para uma ODE linear de primeira ordem \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em a derivada do produto \mu(x)y(x), ou seja \frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)]=\mu(x)q(x).
  • Depois integra-se ambos os lados para achar \mu(x)y(x) e, então, y(x).
Aplicando aqui: como p(x)=-1,
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.

Passo 4

Multiplica-se a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Fazendo isso obtemos
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y = e^{-x}\bigl(2-3e^{-x}\bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y.
Portanto a equação rewriteada é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}\bigl(2-3e^{-x}\bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados em x. Primeiro calculamos o integrando do lado direito:
e^{-x}\bigl(2-3e^{-x}\bigr)=2e^{-x}-3e^{-2x}.
Agora integramos termo a termo:
\int 2e^{-x}\,dx = -2e^{-x}+C_1,\qquad \int -3e^{-2x}\,dx = \frac{3}{2}e^{-2x}+C_2.
Somando (absorvendo constantes em uma só constante de integração C) obtemos
e^{-x}y = -2e^{-x}+\frac{3}{2}e^{-2x}+C.

Passo 6

Isolando y (multiplicando por e^{x}) temos a solução geral:
y(x) = -2 + \frac{3}{2}e^{-x} + C e^{x},
onde C é a constante arbitrária de integração. Aqui cada termo tem interpretação:
  • -2 é uma solução particular constante;
  • \frac{3}{2}e^{-x} é um termo que decai para zero quando x\to+\infty;
  • C e^{x} é a parte geral associada à solução homogênea e cresce exponencialmente se C\neq 0.
(Vou comentar rapidamente: a solução poderia ser obtida também somando a solução da homogênea \,y_h = A e^{x}\, com uma solução particular; o resultado é equivalente ao acima.)

Passo 7

Análise do comportamento quando x\to+\infty:
  • \lim_{x\to+\infty}-2=-2 (finite);
  • \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{2}e^{-x}=0 (decai para zero);
  • \lim_{x\to+\infty}C e^{x} diverge para +\infty se C>0, diverge para -\infty se C<0, e permanece zero se C=0.
Para que y(x) tenha valor finito quando x\to+\infty, é necessário que o termo exponencial crescente desapareça, isto é, deve ser
C=0.

Passo 8

Impor a condição inicial para relacionar C a y_{0}. Em x=0,
y(0)= -2 + \frac{3}{2}e^{0} + C e^{0} = -2 + \frac{3}{2} + C = -\frac{1}{2} + C.
Mas y(0)=y_{0}, logo
y_{0} = -\frac{1}{2} + C.
Como precisamos de C=0 para que a solução seja finita em +\infty, obtemos
y_{0} = -\frac{1}{2}.

Passo 9

Verificação rápida: com y_{0}=-\tfrac{1}{2} temos C=0 e a solução fica
y(x)=-2+\frac{3}{2}e^{-x},
que tende para -2 quando x\to+\infty, logo é finita. Portanto y_{0}=-\tfrac{1}{2} é a escolha correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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