( 2,5 pontos) Encontre o valor de
para que a solução do problema de valor inicial
tenha valor finito quando
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido: encontrar o valor de
tal que a solução
do problema tenha valor finito quando
.
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear (tem a forma
, aqui reorganizável). - A condição inicial é
. - É necessário analisar o comportamento da solução quando
.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma padrão
. A equação dada é
portanto, identificamos
Aqui
é a função que multiplica
no lado esquerdo e
é o termo do lado direito que depende de
. O objetivo agora é resolver a ODE geral para obter
em função de uma constante arbitrária
que será fixada pela condição inicial.
Passo 3
Método do fator integrante (explicação didática):
- Para uma ODE linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante . - Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em a derivada do produto , ou seja . - Depois integra-se ambos os lados para achar
e, então, .
Aplicando aqui: como
,
Passo 4
Multiplica-se a equação original por
. Fazendo isso obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação rewriteada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em
. Primeiro calculamos o integrando do lado direito:
Agora integramos termo a termo:
Somando (absorvendo constantes em uma só constante de integração
) obtemos
Passo 6
Isolando
(multiplicando por
) temos a solução geral:
onde
é a constante arbitrária de integração. Aqui cada termo tem interpretação:
-
é uma solução particular constante; -
é um termo que decai para zero quando ; -
é a parte geral associada à solução homogênea e cresce exponencialmente se .
(Vou comentar rapidamente: a solução poderia ser obtida também somando a solução da homogênea
com uma solução particular; o resultado é equivalente ao acima.)
Passo 7
Análise do comportamento quando
:
-
(finite); -
(decai para zero); -
diverge para se , diverge para se , e permanece zero se .
Para que
tenha valor finito quando
, é necessário que o termo exponencial crescente desapareça, isto é, deve ser
Passo 8
Impor a condição inicial para relacionar
a
. Em
,
Mas
, logo
Como precisamos de
para que a solução seja finita em
, obtemos
Passo 9
Verificação rápida: com
temos
e a solução fica
que tende para
quando
, logo é finita. Portanto
é a escolha correta.