Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
y_{t t}+t(1+y) y_{t}+y=e^{t};

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y_{tt}+t(1+y)\,y_{t}+y=e^{t},
e pede que a classifiquemos segundo três formas diferentes de classificação. As informações relevantes que temos são:
  • A equação envolve derivadas temporais de y: y_{t} e y_{tt}.
  • Aparece o termo t(1+y)y_{t}, que contém produto entre y e y_{t}.
  • O membro à direita é e^{t}, diferente de zero.
    As três classificações que vamos determinar na sequência são: ordem da equação, se é linear ou não, e se é homogênea (homogênea/inhomogênea).

Passo 2

O que é “ordem” de uma equação diferencial e como identificar:
  • Ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada presente na equação.
  • Aqui aparecem as derivadas y_{t} (primeira derivada) e y_{tt} (segunda derivada).
    Portanto a maior derivada presente é y_{tt}, que é de ordem 2. Conclusão:
  • A equação é de ordem \,2.

Passo 3

O que significa uma equação ser linear e como testar:
  • Uma equação diferencial é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear, isto é, cada termo envolvendo y ou y^{(k)} é multiplicado por uma função que depende apenas da variável independente (aqui t) e não por funções de y nem produtos entre y e suas derivadas.
  • A forma geral de uma EDO linear de ordem n é
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os a_i(t) e g(t) dependem só de t.
Aplicando isso à equação dada, observe o termo t(1+y)y_{t}. Expandindo:
t(1+y)y_{t} = t\,y_{t} + t\,y\,y_{t}.
O termo t\,y\,y_{t} contém o produto y\cdot y_{t}, isto é, uma multiplicação entre a função incógnita y e sua derivada y_{t}. Esse tipo de termo quebra a linearidade porque envolve y não linearmente (produto de incógnitas).
Logo, a equação não se encaixa na forma linear geral; portanto é uma equação diferencial não linear.

Passo 4

O que significa ser homogênea (ou inhomogênea) nesse contexto e aplicação:
  • Para equações diferenciais lineares, costuma-se dizer que a equação é homogênea se o termo do lado direito for zero ( g(t)=0); caso contrário é inhomogênea (ou não homogênea).
  • Mesmo quando a equação é não linear, muitas vezes, no contexto de classificação básica, pergunta-se se há um termo “forçante” dependente só de t no lado direito. Se esse termo existe e é diferente de zero, diz-se que a equação é inhomogênea (ou não homogênea).
    Na equação dada o membro à direita é e^{t}, que é diferente de zero. Portanto a equação possui termo forçante e é inhomogênea (não homogênea).
Observação didática curta (para a prova): se a equação fosse linear e o RHS fosse zero, dir-se-ia “linear homogênea”. Aqui, por ser não linear e ter e^{t}\neq 0, a designação prática é “não linear e inhomogênea”.

Passo 5

Resumo conceitual curto + pequenos exemplos para fixar:
  • Exemplo de equação linear homogênea de 2ª ordem: \,y_{tt}+p(t)\,y_{t}+q(t)\,y=0.
  • Exemplo de equação linear inhomogênea de 2ª ordem: \,y_{tt}+p(t)\,y_{t}+q(t)\,y=r(t) com r(t)\neq 0.
  • Exemplo de equação não linear (como a nossa): \,y_{tt}+y\,y_{t}=0 (produto y\,y_{t} torna não linear).
    No exame, para classificar rapidamente: (1) olhe para a maior derivada → ordem; (2) veja se há produtos ou funções não lineares de y ou de suas derivadas → linear ou não; (3) verifique se o membro direito é zero → homogênea ou inhomogênea.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea)

Exercícios relacionados