Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que a classifiquemos segundo três formas diferentes de classificação. As informações relevantes que temos são:
- A equação envolve derivadas temporais de
: e . - Aparece o termo
, que contém produto entre e . - O membro à direita é
, diferente de zero.
As três classificações que vamos determinar na sequência são: ordem da equação, se é linear ou não, e se é homogênea (homogênea/inhomogênea).
Passo 2
O que é “ordem” de uma equação diferencial e como identificar:
- Ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada presente na equação.
- Aqui aparecem as derivadas
(primeira derivada) e (segunda derivada).
Portanto a maior derivada presente é, que é de ordem . Conclusão: - A equação é de ordem
.
Passo 3
O que significa uma equação ser linear e como testar:
- Uma equação diferencial é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear, isto é, cada termo envolvendo ou é multiplicado por uma função que depende apenas da variável independente (aqui ) e não por funções de nem produtos entre e suas derivadas. - A forma geral de uma EDO linear de ordem
é
onde os
e
dependem só de
.
Aplicando isso à equação dada, observe o termo . Expandindo:
Aplicando isso à equação dada, observe o termo
O termo
contém o produto
, isto é, uma multiplicação entre a função incógnita
e sua derivada
. Esse tipo de termo quebra a linearidade porque envolve
não linearmente (produto de incógnitas).
Logo, a equação não se encaixa na forma linear geral; portanto é uma equação diferencial não linear.
Logo, a equação não se encaixa na forma linear geral; portanto é uma equação diferencial não linear.
Passo 4
O que significa ser homogênea (ou inhomogênea) nesse contexto e aplicação:
- Para equações diferenciais lineares, costuma-se dizer que a equação é homogênea se o termo do lado direito for zero (
); caso contrário é inhomogênea (ou não homogênea). - Mesmo quando a equação é não linear, muitas vezes, no contexto de classificação básica, pergunta-se se há um termo “forçante” dependente só de
no lado direito. Se esse termo existe e é diferente de zero, diz-se que a equação é inhomogênea (ou não homogênea).
Na equação dada o membro à direita é, que é diferente de zero. Portanto a equação possui termo forçante e é inhomogênea (não homogênea).
Observação didática curta (para a prova): se a equação fosse linear e o RHS fosse zero, dir-se-ia “linear homogênea”. Aqui, por ser não linear e ter
, a designação prática é “não linear e inhomogênea”.
Passo 5
Resumo conceitual curto + pequenos exemplos para fixar:
- Exemplo de equação linear homogênea de 2ª ordem:
. - Exemplo de equação linear inhomogênea de 2ª ordem:
com . - Exemplo de equação não linear (como a nossa):
(produto torna não linear).
No exame, para classificar rapidamente: (1) olhe para a maior derivada → ordem; (2) veja se há produtos ou funções não lineares deou de suas derivadas → linear ou não; (3) verifique se o membro direito é zero → homogênea ou inhomogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea)
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea (inhomogênea)