Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos quanto à ordem e à linearidade; se for linear, também classificar quanto à homogeneidade. Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve as derivadas
e . - O segundo membro é
. - Não há outros termos envolvendo
(por exemplo , , produtos etc.) explicitados.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o índice da maior derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente é
, dizemos que a equação é de ordem
.
Na nossa equação a maior derivada que aparece é
, que é a derivada de ordem
. Portanto a ordem da equação é
.
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma equação diferencial? Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
é uma função conhecida de
(podem depender de
), e a função incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não multiplicadas entre si, não elevadas a potências, nem dentro de funções não lineares como
,
, etc.).
Vamos comparar com a equação dada. Podemos identificar os coeficientes dependendo de
:
e o termo do lado direito é
.
Observações que garantem linearidade:
- Os termos que envolvem
são e . Ambos são lineares em e nas derivadas de (aparecem multiplicados por funções de , o que é permitido). - Não há termos como
, , etc.
Portanto, a equação é linear (é uma ODE linear de ordem
com coeficientes que dependem de
).
Passo 4
O que significa “homogênea” (no contexto de equações lineares)? Uma equação linear é dita homogênea se o termo do lado direito for zero, isto é,
. Se
a equação é não homogênea (ou inhomogênea).
Na nossa equação temos
. Essa função não é identicamente zero (por exemplo, em
ela vale
). Portanto
e a equação é não homogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea