Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
y^{\prime \prime \prime}+x y^{\prime}=x \operatorname{sen} x,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+x\,y^{\prime}=x\sin x
e pede que a classifiquemos quanto à ordem e à linearidade; se for linear, também classificar quanto à homogeneidade. Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve as derivadas y^{\prime} e y^{\prime\prime\prime}.
  • O segundo membro é x\sin x.
  • Não há outros termos envolvendo y (por exemplo y^2, \sin y, produtos y\,y' etc.) explicitados.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o índice da maior derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente é y^{(n)}, dizemos que a equação é de ordem n.
Na nossa equação a maior derivada que aparece é y^{\prime\prime\prime}, que é a derivada de ordem 3. Portanto a ordem da equação é 3.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma equação diferencial? Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y^{\prime}+a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) é uma função conhecida de x (podem depender de x), e a função incógnita y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não multiplicadas entre si, não elevadas a potências, nem dentro de funções não lineares como \sin(y), \exp(y), etc.).
Vamos comparar com a equação dada. Podemos identificar os coeficientes dependendo de x:
a_3(x)=1,\qquad a_2(x)=0,\qquad a_1(x)=x,\qquad a_0(x)=0,
e o termo do lado direito é g(x)=x\sin x.
Observações que garantem linearidade:
  • Os termos que envolvem y são y^{\prime\prime\prime} e x\,y^{\prime}. Ambos são lineares em y e nas derivadas de y (aparecem multiplicados por funções de x, o que é permitido).
  • Não há termos como (y')^2, y\cdot y', \sin(y) etc.
Portanto, a equação é linear (é uma ODE linear de ordem 3 com coeficientes que dependem de x).

Passo 4

O que significa “homogênea” (no contexto de equações lineares)? Uma equação linear é dita homogênea se o termo do lado direito for zero, isto é, g(x)=0. Se g(x)\neq 0 a equação é não homogênea (ou inhomogênea).
Na nossa equação temos g(x)=x\sin x. Essa função não é identicamente zero (por exemplo, em x=1 ela vale \sin 1\neq 0). Portanto g(x)\neq 0 e a equação é não homogênea.

Resposta

Ordem: 3
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea

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