Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
x^{2} y^{\prime \prime}+\mathrm{e}^{x} y^{\prime}=\frac{1}{y}.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto a duas coisas: (a) a ordem e (b) a linearidade (se for linear, também classificar quanto à homogeneidade). A equação dada é
x^{2}y'' + e^{x}y' = \frac{1}{y}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;x é a variável independente (aparece nas funções x^{2} e e^{x});
\;y é a função desconhecida de x;
\;y' é a derivada primeira de y em relação a x;
\;y'' é a derivada segunda de y em relação a x;
o membro direito é \frac{1}{y}, que depende de y.

Passo 2

Definição e verificação da ordem da equação diferencial.
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Aqui aparecem y' (primeira derivada) e y'' (segunda derivada). O maior é y'', que é a derivada de ordem 2. Portanto a ordem da equação é 2:
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa ser uma equação diferencial linear?
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
a_{n}(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = g(x),
onde cada a_{k}(x) e g(x) dependem só de x (ou são constantes), e a combinação em y, y', …, y^{(n)} é linear — isto é, não aparecem produtos entre y e suas derivadas, nem funções não lineares de y como y^{2}, \sin(y), 1/y, etc. Em outras palavras, cada termo envolvendo y deve ser de forma coeficiente(x) \times y^{(k)}.

Passo 4

Aplicando essa definição à equação dada.
Posso reescrever a equação como
x^{2}y'' + e^{x}y' - \frac{1}{y} = 0
ou, dividindo por x^{2} (quando x\neq 0),
y'' + \frac{e^{x}}{x^{2}}\,y' = \frac{1}{x^{2}y}.
Note que o termo \frac{1}{y} (ou \frac{1}{x^{2}y} após divisão) é uma função que depende de y de modo não linear (está na forma y^{-1}). Isso viola a condição de linearidade, porque a equação contém uma função não linear de y (não é apenas coeficiente(x) \times y ou coeficiente(x) \times y^{(k)}). Logo a equação não é linear.

Passo 5

Consequência sobre a classificação de homogênea / não homogênea.
A classificação como homogênea ou não homogênea é feita apenas para equações diferenciais lineares: uma equação linear é homogênea se g(x)=0 (isto é, não há termo livre dependente só de x), e é não homogênea caso contrário. Como a equação dada é não linear, essa classificação não se aplica. Em outras palavras, não faz sentido chamar esta equação de homogênea ou não homogênea no sentido padrão usado para equações lineares.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: não linear (não é linear)
Classificação quanto à homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea/não homogênea é só para equações lineares)

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