Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto a duas coisas: (a) a ordem e (b) a linearidade (se for linear, também classificar quanto à homogeneidade). A equação dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é a variável independente (aparece nas funções
e
);
é a função desconhecida de
;
é a derivada primeira de
em relação a
;
é a derivada segunda de
em relação a
;
o membro direito é , que depende de
.
o membro direito é
Passo 2
Definição e verificação da ordem da equação diferencial.
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de que aparece na equação. Aqui aparecem
(primeira derivada) e
(segunda derivada). O maior é
, que é a derivada de ordem 2. Portanto a ordem da equação é 2:
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
Passo 3
O que significa ser uma equação diferencial linear?
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
dependem só de
(ou são constantes), e a combinação em
,
, …,
é linear — isto é, não aparecem produtos entre
e suas derivadas, nem funções não lineares de
como
,
,
, etc. Em outras palavras, cada termo envolvendo
deve ser de forma coeficiente(x)
.
Passo 4
Aplicando essa definição à equação dada.
Posso reescrever a equação como
Posso reescrever a equação como
ou, dividindo por
(quando
),
Note que o termo
(ou
após divisão) é uma função que depende de
de modo não linear (está na forma
). Isso viola a condição de linearidade, porque a equação contém uma função não linear de
(não é apenas coeficiente(x)
ou coeficiente(x)
). Logo a equação não é linear.
Passo 5
Consequência sobre a classificação de homogênea / não homogênea.
A classificação como homogênea ou não homogênea é feita apenas para equações diferenciais lineares: uma equação linear é homogênea se (isto é, não há termo livre dependente só de
), e é não homogênea caso contrário. Como a equação dada é não linear, essa classificação não se aplica. Em outras palavras, não faz sentido chamar esta equação de homogênea ou não homogênea no sentido padrão usado para equações lineares.
A classificação como homogênea ou não homogênea é feita apenas para equações diferenciais lineares: uma equação linear é homogênea se
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear (não é linear)
Classificação quanto à homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea/não homogênea é só para equações lineares)
Linearidade: não linear (não é linear)
Classificação quanto à homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea/não homogênea é só para equações lineares)