Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
y^{(4)}+\mathrm{e}^{x} y^{\prime \prime}=x^{3} y^{\prime},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(4)}+\mathrm{e}^{x}y^{\prime\prime}=x^{3}y^{\prime}
e pede que eu classifique a equação quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se for linear, preciso também dizer se é homogênea ou não homogênea. Informações relevantes: a equação acima é a única dada; não há outros dados.

Passo 2

Determinar a ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida que aparece na equação. Aqui aparecem y^{\prime}, y^{\prime\prime} e y^{(4)}. O maior índice é 4. Logo, a ordem é 4.

Passo 3

O que significa ser linear? Vou explicar certinho: uma equação diferencial é linear de ordem n se puder ser escrita na forma
a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=g(x),
onde cada a_k(x) é uma função apenas da variável independente x e g(x) também é função de x (pode ser zero). A ideia chave: y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si nem aparecem dentro de funções não lineares (por exemplo, termos como (y')^2, y\cdot y', \sin(y) tornam a equação não linear).

Passo 4

Testar linearidade reescrevendo a equação de modo padrão, passando o termo do lado direito para a esquerda:
y^{(4)}+\mathrm{e}^{x}y^{\prime\prime}-x^{3}y^{\prime}=0.
Agora identifico os coeficientes comparando com a forma linear:
a_4(x)=1,\quad a_3(x)=0,\quad a_2(x)=\mathrm{e}^{x},\quad a_1(x)=-x^{3},\quad a_0(x)=0,
e o termo independente é g(x)=0. Observe que cada termo não envolve produtos entre y e suas derivadas, nem potências diferentes de 1, nem funções de y. Todos os coeficientes dependem apenas de x. Portanto a equação é linear.
Como contraste (para fixar a ideia): se tivéssemos algo como y''+y\cdot y'=0 ou y''+(y')^2=0, isso seria não linear, porque as derivadas aparecem multiplicadas ou elevadas a potência maior que 1.

Passo 5

Testar homogeneidade: uma equação linear é homogênea se o termo independente g(x) for identicamente zero; caso contrário é não homogênea. Na forma que obtivemos,
y^{(4)}+\mathrm{e}^{x}y^{\prime\prime}-x^{3}y^{\prime}=0,
temos g(x)=0. Logo a equação é homogênea. (Exemplo oposto: y''+p(x)y'+q(x)y=\sin x é linear não homogênea porque o lado direito \sin x é diferente de zero.)

Passo 6

Resumo final e conclusão clara: a equação tem ordem 4; é linear porque pode ser escrita com coeficientes que dependem só de x e y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência; e é homogênea porque, na forma padrão, o termo independente é zero.

Resposta

Ordem 4, linear e homogênea.

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