Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu classifique a equação quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se for linear, preciso também dizer se é homogênea ou não homogênea. Informações relevantes: a equação acima é a única dada; não há outros dados.
Passo 2
Determinar a ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida que aparece na equação. Aqui aparecem
,
e
. O maior índice é
. Logo, a ordem é
.
Passo 3
O que significa ser linear? Vou explicar certinho: uma equação diferencial é linear de ordem
se puder ser escrita na forma
onde cada
é uma função apenas da variável independente
e
também é função de
(pode ser zero). A ideia chave:
e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si nem aparecem dentro de funções não lineares (por exemplo, termos como
,
,
tornam a equação não linear).
Passo 4
Testar linearidade reescrevendo a equação de modo padrão, passando o termo do lado direito para a esquerda:
Agora identifico os coeficientes comparando com a forma linear:
e o termo independente é
. Observe que cada termo não envolve produtos entre
e suas derivadas, nem potências diferentes de
, nem funções de
. Todos os coeficientes dependem apenas de
. Portanto a equação é linear.
Como contraste (para fixar a ideia): se tivéssemos algo como
ou
, isso seria não linear, porque as derivadas aparecem multiplicadas ou elevadas a potência maior que
.
Passo 5
Testar homogeneidade: uma equação linear é homogênea se o termo independente
for identicamente zero; caso contrário é não homogênea. Na forma que obtivemos,
temos
. Logo a equação é homogênea. (Exemplo oposto:
é linear não homogênea porque o lado direito
é diferente de zero.)
Passo 6
Resumo final e conclusão clara: a equação tem ordem
; é linear porque pode ser escrita com coeficientes que dependem só de
e
e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência; e é homogênea porque, na forma padrão, o termo independente é zero.
Resposta
Ordem
, linear e homogênea.