Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
q(x)=\frac{1}{x}, \operatorname{com} x>0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se classificar a função quanto à monotonicidade (se é crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas) no seu domínio natural.
  • A função dada é q(x)=\dfrac{1}{x} com domínio natural \;x>0.

Passo 2

Definições (precisas e curtas) que vamos usar:
  • Dizemos que uma função f é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 no intervalo com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2).
  • Dizemos que f é estritamente decrescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 no intervalo com x_1<x_2, vale f(x_1)>f(x_2).
  • Se nenhum desses ocorrer (nem crescimento nem decrescimento nem constância), então classificamos como “nenhuma delas”.
Vou mostrar duas maneiras diferentes e complementares de justificar a classificação: uma por desigualdade direta (mais elemental) e outra usando derivada (ferramenta padrão em provas).

Passo 3

Prova direta por desigualdade (maneira elementar, sem derivada):
  • Tome quaisquer x_1,x_2 tais que 0<x_1<x_2. Como ambos são positivos, o produto x_1x_2 também é positivo.
  • A partir de x_1<x_2 podemos multiplicar ambos os lados por \dfrac{1}{x_1x_2}>0 sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso: \dfrac{x_1}{x_1x_2} < \dfrac{x_2}{x_1x_2}.
  • Simplificando os lados obtemos \dfrac{1}{x_2} < \dfrac{1}{x_1},que é equivalentemente \dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2}.
  • Isso mostra que, sempre que x_1<x_2 (com x_1,x_2>0), vale q(x_1)>q(x_2). Pela definição, q é estritamente decrescente no intervalo (0,\infty).
Observação intuitiva: para números positivos, ao aumentar x o valor de 1/x diminui — por exemplo, 1/1=1 e 1/2=0,5.

Passo 4

Prova usando derivada (ferramenta útil para provas; explico a regra que usei):
  • Regra da potência: se f(x)=x^{n} (com n real), então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-1 para q(x)=x^{-1}, obtemos q'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Para todo x>0 temos x^{2}>0, portanto -\dfrac{1}{x^{2}}<0. Ou seja, q'(x)<0 para todo x>0.
  • Teorema de monotonicidade (versão usada em provas): se f é diferenciável num intervalo e f'(x)<0 em todo o intervalo, então f é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma justificativa rápida via Teorema do Valor Médio: para x_1<x_2 existe c\in(x_1,x_2) tal que f(x_2)-f(x_1)=f'\text{(c)}(x_2-x_1); se f'\text{(c)}<0 e x_2-x_1>0 então f(x_2)-f(x_1)<0, logo f(x_2)<f(x_1).
  • Conclusão pela derivada: q é estritamente decrescente em (0,\infty).

Passo 5

Cheque numérico rápido (para confirmar a intuição):
  • Escolhendo x=1 e x=2: q(1)=1 e q(2)=\dfrac{1}{2}=0,5. Como 1>0,5 e 1<2, isso confirma o comportamento decrescente.

Passo 6

Resumo didático final (como aplicar isso numa prova):
  • Se a função for simples como 1/x, a prova por desigualdade é direta e elegante: para 0<x_1<x_2 mostra-se 1/x_1>1/x_2.
  • Alternativamente, calcule a derivada: se for negativa em todo o domínio considerado, conclui-se que a função é estritamente decrescente.
  • Ambas as abordagens são válidas; em provas de cálculo costuma-se preferir a derivada quando permitido, e em provas mais elementares a desigualdade direta é suficiente.

Resposta

Decrescente (estritamente decrescente) em (0,\infty), ou seja, para x>0.

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