Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se classificar a função quanto à monotonicidade (se é crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas) no seu domínio natural.
- A função dada é
com domínio natural .
Passo 2
Definições (precisas e curtas) que vamos usar:
- Dizemos que uma função
é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer no intervalo com , vale . - Dizemos que
é estritamente decrescente em um intervalo se, para quaisquer no intervalo com , vale . - Se nenhum desses ocorrer (nem crescimento nem decrescimento nem constância), então classificamos como “nenhuma delas”.
Vou mostrar duas maneiras diferentes e complementares de justificar a classificação: uma por desigualdade direta (mais elemental) e outra usando derivada (ferramenta padrão em provas).
Passo 3
Prova direta por desigualdade (maneira elementar, sem derivada):
- Tome quaisquer
tais que . Como ambos são positivos, o produto também é positivo. - A partir de
podemos multiplicar ambos os lados por sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso: - Simplificando os lados obtemos
que é equivalentemente - Isso mostra que, sempre que
(com ), vale . Pela definição, é estritamente decrescente no intervalo .
Observação intuitiva: para números positivos, ao aumentar
o valor de
diminui — por exemplo,
e
.
Passo 4
Prova usando derivada (ferramenta útil para provas; explico a regra que usei):
- Regra da potência: se
(com real), então . Aplicando com para , obtemos - Para todo
temos , portanto . Ou seja, para todo . - Teorema de monotonicidade (versão usada em provas): se
é diferenciável num intervalo e em todo o intervalo, então é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma justificativa rápida via Teorema do Valor Médio: para existe tal que ; se e então , logo . - Conclusão pela derivada:
é estritamente decrescente em .
Passo 5
Cheque numérico rápido (para confirmar a intuição):
- Escolhendo
e : e . Como e , isso confirma o comportamento decrescente.
Passo 6
Resumo didático final (como aplicar isso numa prova):
- Se a função for simples como
, a prova por desigualdade é direta e elegante: para mostra-se . - Alternativamente, calcule a derivada: se for negativa em todo o domínio considerado, conclui-se que a função é estritamente decrescente.
- Ambas as abordagens são válidas; em provas de cálculo costuma-se preferir a derivada quando permitido, e em provas mais elementares a desigualdade direta é suficiente.
Resposta
Decrescente (estritamente decrescente) em
, ou seja, para
.