Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
p(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: classificar a função p(x)=e^{-x} como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, no seu domínio natural.
Informações dadas:
  • A função é p(x)=e^{-x}.
  • Domínio natural: todos os reais, isto é \mathbb{R}.

Passo 2

Definições importantes (de forma bem direta):
  • Uma função f é crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 no intervalo com x_1<x_2, vale f(x_1)\le f(x_2). Se a desigualdade for estrita f(x_1)<f(x_2) sempre que x_1<x_2, diz-se estritamente crescente.
  • Analogamente, f é decrescente em um intervalo se, para x_1<x_2, vale f(x_1)\ge f(x_2). Se for sempre estrita f(x_1)>f(x_2), diz-se estritamente decrescente.

Passo 3

Estratégias práticas que usamos em provas:
  • Se a função for diferenciável, o sinal da derivada indica monotonicidade: se f'(x)>0 em todo o intervalo, f é estritamente crescente; se f'(x)<0 em todo o intervalo, f é estritamente decrescente. Vou usar isso aqui porque e^{u} é diferenciável para todo u.
  • Também posso usar propriedades elementares da exponencial para comparar valores sem derivada (útil quando se quer um argumento direto).

Passo 4

Calcular a derivada usando regra da cadeia. Para p(x)=e^{u(x)} com u(x)=-x, a derivada é p'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u'(x)=-1. Logo:
p'(x) = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.
Lembrete: para qualquer x temos e^{-x}>0, porque a função exponencial é sempre positiva.

Passo 5

Analisar o sinal de p'(x). Como e^{-x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que
p'(x) = -e^{-x} < 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Pelo teste da derivada, se a derivada é negativa em todo o domínio, a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Portanto p é estritamente decrescente em \mathbb{R}.

Passo 6

Para dar um argumento direto, sem derivada: tome x_1<x_2. Então x_2-x_1>0 e
\frac{p(x_2)}{p(x_1)}=\frac{e^{-x_2}}{e^{-x_1}}=e^{-(x_2-x_1)}<1,
pois e^{-(x_2-x_1)} é uma exponencial de um número negativo. Assim p(x_2)<p(x_1) sempre que x_1<x_2, o que confirma que p é estritamente decrescente em \mathbb{R}.

Resposta

Estritamente decrescente em \mathbb{R}.

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