Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a função
como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, no seu domínio natural.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Domínio natural: todos os reais, isto é
.
Passo 2
Definições importantes (de forma bem direta):
- Uma função
é crescente em um intervalo se, para quaisquer no intervalo com , vale . Se a desigualdade for estrita sempre que , diz-se estritamente crescente. - Analogamente,
é decrescente em um intervalo se, para , vale . Se for sempre estrita , diz-se estritamente decrescente.
Passo 3
Estratégias práticas que usamos em provas:
- Se a função for diferenciável, o sinal da derivada indica monotonicidade: se
em todo o intervalo, é estritamente crescente; se em todo o intervalo, é estritamente decrescente. Vou usar isso aqui porque é diferenciável para todo . - Também posso usar propriedades elementares da exponencial para comparar valores sem derivada (útil quando se quer um argumento direto).
Passo 4
Calcular a derivada usando regra da cadeia. Para
com
, a derivada é
. Aqui
. Logo:
Lembrete: para qualquer
temos
, porque a função exponencial é sempre positiva.
Passo 5
Analisar o sinal de
. Como
para todo
, segue que
Pelo teste da derivada, se a derivada é negativa em todo o domínio, a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Portanto
é estritamente decrescente em
.
Passo 6
Para dar um argumento direto, sem derivada: tome
. Então
e
pois
é uma exponencial de um número negativo. Assim
sempre que
, o que confirma que
é estritamente decrescente em
.
Resposta
Estritamente decrescente em
.