Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a classifique como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, no seu domínio natural.
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- A função é
. - O domínio natural da função logaritmo natural é
.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem direta, as definições que precisamos (tudo em termos do domínio
):
- Uma função
é crescente em um intervalo se, para quaisquer nesse intervalo com , vale . - É estritamente crescente se, para quaisquer
com , vale . - É decrescente (resp. estritamente decrescente) se as desigualdades acima se inverterem.
- É constante se
para quaisquer do intervalo.
Esses conceitos nos dizem exatamente o que devemos provar: mostrar que, para
, temos
(ou provar o oposto).
Passo 3
Estratégia prática que vou usar (muito usada em prova): usar a derivada. Existe um resultado simples e útil:
Se uma função
é diferenciável num intervalo e
para todo
nesse intervalo, então
é estritamente crescente ali. (Isto segue do Teorema do Valor Médio: para
existe
tal que
. Se
e
, então
.)
Logo, vamos calcular
e verificar seu sinal em
.
Passo 4
Cálculo da derivada de
.
Uma forma direta: seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
e lembrando que
, obtemos
Como
, isto dá
Portanto
Agora observe o sinal: para todo
temos
, daí
. Ou seja,
para todo
no domínio natural.
Passo 5
Conclusão pela regra da derivada: como
para todo
, a função
é estritamente crescente em
. Portanto ela é crescente (não é constante nem decrescente) em seu domínio.
Resposta
A função
é estritamente crescente em seu domínio natural
.