Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique.
h(x)=\ln x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\ln x e pede que a classifique como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, no seu domínio natural.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A função é h(x)=\ln x.
  • O domínio natural da função logaritmo natural é (0,\infty).

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem direta, as definições que precisamos (tudo em termos do domínio (0,\infty)):
  • Uma função f é crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 nesse intervalo com x_1<x_2, vale f(x_1)\le f(x_2).
  • É estritamente crescente se, para quaisquer x_1,x_2 com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2).
  • É decrescente (resp. estritamente decrescente) se as desigualdades acima se inverterem.
  • É constante se f(x_1)=f(x_2) para quaisquer x_1,x_2 do intervalo.
Esses conceitos nos dizem exatamente o que devemos provar: mostrar que, para 0<x_1<x_2, temos \ln x_1<\ln x_2 (ou provar o oposto).

Passo 3

Estratégia prática que vou usar (muito usada em prova): usar a derivada. Existe um resultado simples e útil:
Se uma função f é diferenciável num intervalo e f'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então f é estritamente crescente ali. (Isto segue do Teorema do Valor Médio: para x_1<x_2 existe c\in(x_1,x_2) tal que f(x_2)-f(x_1)=f'\text{(c)}(x_2-x_1). Se f'\text{(c)}>0 e x_2-x_1>0, então f(x_2)-f(x_1)>0.)
Logo, vamos calcular h'(x) e verificar seu sinal em (0,\infty).

Passo 4

Cálculo da derivada de h(x)=\ln x.
Uma forma direta: seja y=\ln x. Então e^{y}=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x e lembrando que \dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\dfrac{dy}{dx}, obtemos
e^{y}\,\frac{dy}{dx}=1.
Como e^{y}=x, isto dá
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Portanto
h'(x)=\frac{1}{x}.
Agora observe o sinal: para todo x\in(0,\infty) temos x>0, daí \dfrac{1}{x}>0. Ou seja, h'(x)>0 para todo x no domínio natural.

Passo 5

Conclusão pela regra da derivada: como h'(x)>0 para todo x\in(0,\infty), a função h(x)=\ln x é estritamente crescente em (0,\infty). Portanto ela é crescente (não é constante nem decrescente) em seu domínio.

Resposta

A função h(x)=\ln x é estritamente crescente em seu domínio natural (0,\infty).

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