Classifique em in (pertence) ou notin (não pertence), os números a seguir:
raiz2 Q

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o número raiz2 pertence ao conjunto dos números racionais, que é representado por Q. Basicamente, vamos descobrir se raiz2 é um número que pode ser escrito como uma fração de dois inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais. Um número é racional se ele pode ser expresso como ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Exemplos de números racionais são 12, 3, e -45.

Passo 3

Agora, vamos pensar em raiz2. Suponha que raiz2 seja racional. Então, poderíamos escrever raiz2 = ab, onde a e b são inteiros sem fatores comuns (ou seja, a fração está simplificada).

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
2 = a^2b^2
Multiplicando os dois lados por b^2, fica:
2b^2 = a^2
Isso significa que a^2 é um número par, já que é igual a 2b^2.

Passo 5

Se a^2 é par, então a também deve ser par (porque o quadrado de um número ímpar é ímpar). Vamos dizer que a = 2k, onde k é um inteiro.

Passo 6

Substituindo a por 2k na equação 2b^2 = a^2, temos:
2b^2 = (2k)^2 2b^2 = 4k^2 b^2 = 2k^2
Isso mostra que b^2 também é par, logo b é par.

Passo 7

Se tanto a quanto b são pares, isso significa que eles têm pelo menos o fator 2 em comum. Mas isso contraria a nossa suposição inicial de que a fração ab estava simplificada (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que raiz2 é racional está errada.

Resposta

raiz2 notin Q

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