Classifique em
(pertence) ou
(não pertence), os números a seguir:
Q
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o número
pertence ao conjunto dos números racionais, que é representado por
. Basicamente, vamos descobrir se
é um número que pode ser escrito como uma fração de dois inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais. Um número é racional se ele pode ser expresso como
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos de números racionais são
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em
. Suponha que
seja racional. Então, poderíamos escrever
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns (ou seja, a fração está simplificada).
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
Multiplicando os dois lados por
, fica:
Isso significa que
é um número par, já que é igual a
.
Passo 5
Se
é par, então
também deve ser par (porque o quadrado de um número ímpar é ímpar). Vamos dizer que
, onde
é um inteiro.
Passo 6
Substituindo
por
na equação
, temos:
Isso mostra que
também é par, logo
é par.
Passo 7
Se tanto
quanto
são pares, isso significa que eles têm pelo menos o fator 2 em comum. Mas isso contraria a nossa suposição inicial de que a fração
estava simplificada (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que
é racional está errada.