Determine os valores (x, y) que são soluções do sistema 3^x+y & =81 log 3 x+log 3 y & =1

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os valores de (x,y)>0 que satisfazem o sistema de uma equação exponencial e uma de logaritmos: 3^x+y=81 e log3 x + log3 y =1. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Da equação 3^x+y=81, como 81=3^4, podemos igualar expoentes de mesma base e obter x+y=4.

Passo 3

Da soma de logaritmos, usamos log3 x + log3 y = log3(xy). Como isso é igual a 1, temos log3(xy)=1, o que implica xy=3^1=3.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema x+y=4 e xy=3 reconhecendo que as raízes de t^2 - (x+y)t + xy=0 satisfazem esse sistema. Ou seja, t^2-4t+3=0. Fatorando, (t-1)(t-3)=0, logo t=1 ou t=3, dando os pares (x,y)=(1,3) e (3,1).

Resposta

(1,3) e (3,1)

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