Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função 
 . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de 
 . Para resolver, vamos usar a fórmula da série de Taylor para logaritmos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Taylor para 
  em torno de 
  é dada por:
Isso significa que podemos escrever 
  como uma soma infinita de termos envolvendo 
  elevado a diferentes potências.
Passo 3
Vamos expandir os primeiros termos dessa série para entender melhor:
Cada termo alterna de sinal e envolve 
  elevado a uma potência crescente, dividido pelo número da potência.
Passo 4
Portanto, a representação em série de potências para 
  é:
Essa série converge para 
 , ou seja, vale para valores de 
  entre -1 e 1.
Resposta
A série de potências para 
  é: