Classifique e obtenha o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+y=10 \\\\ 2 x+2 y=20 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y = 10,\\\\ 2x + 2y = 20 \end{cases}
Estamos estudando classificação de sistemas lineares (única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções) e vamos usar eliminação de Gauss para verificar consistência e posto da matriz.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 10\\\\ 2 & 2 & 20 \end{array}\right].
Aplicando eliminação de Gauss, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 10\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

A segunda linha zerada mostra que as duas equações são dependentes (a segunda é múltiplo da primeira). O posto da matriz de coeficientes é \rank=1, igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas n=2. Portanto, o sistema é consistente e possui infinitas soluções.

Passo 4

Para descrever o conjunto de soluções, basta usar a equação não nula x + y = 10. Isolando y, temos
y = 10 - x,
com x\in\mathbb{R} livre. Então o conjunto solução é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = 10 - x\}.

Resposta

O sistema é indeterminado (infinitas soluções) e
\{(x,y)\mid y = 10 - x,\;x\in\mathbb{R}\}.

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