Considere o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{r} x+2 y+z+w=1 \\\ x+4 y+z+w=1 \\\\ -2 x-4 y-z-4 w=1 \\\ x+2 y+z+2 w=1 \end{array}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w e pede duas coisas:
  1. escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf b,
  2. escrever a matriz aumentada \bigl[A\mid \mathbf b\bigr].

Passo 2

Para montar a forma matricial, extraímos de cada equação os coeficientes de x,y,z,w e os termos independentes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & 1 & 1\\\\ -2 & -4 & -1 & -4\\\\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim o sistema fica
A\,\mathbf{x}=\mathbf b.

Passo 3

Para formar a matriz aumentada, simplesmente colocamos \mathbf b como coluna adicional à direita de A:
\bigl[A\mid \mathbf b\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 &\mid& 1\\\\ 1 & 4 & 1 & 1 &\mid& 1\\\\ -2 & -4 & -1 & -4 &\mid& 1\\\\ 1 & 2 & 1 & 2 &\mid& 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & 1 & 1\\\\ -2 & -4 & -1 & -4\\\\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
(b)
\bigl[A\mid \mathbf b\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 &\mid& 1\\\\ 1 & 4 & 1 & 1 &\mid& 1\\\\ -2 & -4 & -1 & -4 &\mid& 1\\\\ 1 & 2 & 1 & 2 &\mid& 1 \end{pmatrix}.

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