Classifique os pontos críticos das funções abaixo
(e)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos e classificação deles usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Como $ e^{1 + x^{2} + y^{2}} $ nunca é zero, as equações reduzem para:
Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 5
Avaliamos a matriz Hessiana no ponto crítico $ (0, 0) $:
A matriz Hessiana no ponto $ (0, 0) $ é:
Passo 6
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como o determinante é positivo ($ 4e^{2} > 0 $) e $ f_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função $ f(x, y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}} $ é $ (0, 0) $ e ele é um mínimo local.