Classifique os pontos críticos das funções abaixo
(e) f(x, y)=e^1+x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos e classificação deles usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $:
x
y

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
2x e^1 + x^2 + y^2 = 0
2y e^1 + x^2 + y^2 = 0
Como $ e^{1 + x^{2} + y^{2}} $ nunca é zero, as equações reduzem para:
e^1 + x^2 + y^2
2x = 0 Rightarrow x = 0
Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Vamos calcular as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( 2x e^1 + x^2 + y^2 ) = 2 e^1 + x^2 + y^2 + 4x^2 e^1 + x^2 + y^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( 2y e^1 + x^2 + y^2 ) = 2 e^1 + x^2 + y^2 + 4y^2 e^1 + x^2 + y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y ( 2x e^1 + x^2 + y^2 ) = 4xy e^1 + x^2 + y^2

Passo 5

Avaliamos a matriz Hessiana no ponto crítico $ (0, 0) $:
(0, 0)
fxx(0, 0) = 2 e^1
fyy(0, 0) = 2 e^1
A matriz Hessiana no ponto $ (0, 0) $ é:
fxy(0, 0) = 0

Passo 6

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
det(H) = (2e)(2e) - (0)(0) = 4e^2
Como o determinante é positivo ($ 4e^{2} > 0 $) e $ f_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função $ f(x, y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}} $ é $ (0, 0) $ e ele é um mínimo local.

Exercícios relacionados