Calcule
onde C é contorno da região semicircular
entre
e
, considerando
da região onde
e
.
S: 14
S: 14
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha fechada:
onde
é o contorno de uma região semicircular
que fica entre as circunferências
e
, especificamente em um quarto dessa região onde
e
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Precisamos identificar as funções
e
na integral dada para aplicar o teorema.
Passo 2
Identificamos na integral que:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, vamos primeiro calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Porque
não depende de
.
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região
.
Passo 5
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região
é entre duas circunferências. Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
A região
está entre
e
, e como estamos considerando 1/4 da região onde
e
, o intervalo para
é de
a
.
Passo 6
Substituindo
na integral, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a última integral em relação a
:
Passo 9
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
O valor da integral é 14.