Calcule ointC(4+e^raizx) d x+(cos (y)+3 x^2) d y onde C é contorno da região semicircular D entre x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, considerando 1 / 4 da região onde x >= 0 e y >= 0.
S: 14

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha fechada:
ointC (4 + e^raizx) dx + (cos(y) + 3x^2) dy
onde é o contorno de uma região semicircular que fica entre as circunferências e , especificamente em um quarto dessa região onde e .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Precisamos identificar as funções e na integral dada para aplicar o teorema.

Passo 2

Identificamos na integral que:
P(x, y) = 4 + e^raizx
Q(x, y) = cos(y) + 3x^2
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, vamos primeiro calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( cos(y) + 3x^2 ) = 6x em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( 4 + e^raizx ) = 0 :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Porque não depende de .

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 6x - 0 ) dA = integral duplaD 6x , dA
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 5

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região x = r cos(theta) é entre duas circunferências. Em coordenadas polares, temos:
y = r sin(theta)
dA = r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares é:
A região está entre e , e como estamos considerando 1/4 da região onde e , o intervalo para é de a .

Passo 6

Substituindo integral duplaD 6x , dA = integral0^pi2 integral1^2 6(r cos(theta)) cdot r , dr , dtheta = 6 integral0^pi2 integral1^2 r^2 cos(theta) , dr , dtheta na integral, temos:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73 :
6 cdot 73 integral0^pi2 cos(theta) , dtheta = 14 integral0^pi2 cos(theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a última integral em relação a integral0^pi2 cos(theta) , dtheta = [ sin(theta) ]0^pi2 = 1 - 0 = 1 :

Passo 9

Multiplicando tudo, temos:
14 times 1 = 14

Resposta

O valor da integral é 14.

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