Nos Problemas 15-26, ache a solução geral do sistema dado.
19. X^prime=(ll4 & -5 5 & -4) X

Passo 1

Temos o sistema de EDOs com coeficientes constantes
x′=4x−5y
y′=5x−4y
O conteúdo aqui é sistema linear de primeira ordem e vamos precisar transformar numa equação de segunda ordem (decoupling) para obter x(t) e depois encontrar y(t).

Passo 2

A partir de x′=4x−5y, diferenciamos para ter x′′ e usar y′ da segunda equação:
x''=4x'−5y'
Como y′=5x−4y, substituímos:
x''=4(4x−5y)−5(5x−4y)=16x−20y−25x+20y=−9x
Logo obtemos a equação de segunda ordem
x''+9x=0

Passo 3

A equação x’’+9x=0 é harmônica simples. A solução geral é
x(t)=C1,cos(3t)+C2,sin(3t),
onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para achar y(t), voltamos a x′=4x−5y e isolamos y:
y=4x−x'5
Substituímos x(t) e x′(t)=−3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t):
y(t)=4(C1cos3t+C2sin3t)-(-3C1sin3t+3C2cos3t)5

Passo 5

Fazendo a distribuição e coletando termos de cos(3t) e sin(3t) obtemos
y(t)=4C1-3C25,cos(3t)+3C1+4C25,sin(3t)
Portanto o vetor solução geral é X(t)=[x(t);y(t)].

Resposta

X(t)= C1,cos(3t)+C2,sin(3t)[6pt] 4C1-3C25,cos(3t)+3C1+4C25,sin(3t) ,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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