Nos Problemas 15-26, ache a solução geral do sistema dado.
19.
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Passo 1
Temos o sistema de EDOs com coeficientes constantes
x′=4x−5y
y′=5x−4y
O conteúdo aqui é sistema linear de primeira ordem e vamos precisar transformar numa equação de segunda ordem (decoupling) para obter x(t) e depois encontrar y(t).
x′=4x−5y
y′=5x−4y
O conteúdo aqui é sistema linear de primeira ordem e vamos precisar transformar numa equação de segunda ordem (decoupling) para obter x(t) e depois encontrar y(t).
Passo 2
A partir de x′=4x−5y, diferenciamos para ter x′′ e usar y′ da segunda equação:
Como y′=5x−4y, substituímos:
Logo obtemos a equação de segunda ordem
Passo 3
A equação x’’+9x=0 é harmônica simples. A solução geral é
onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para achar y(t), voltamos a x′=4x−5y e isolamos y:
Substituímos x(t) e x′(t)=−3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t):
Passo 5
Fazendo a distribuição e coletando termos de
e
obtemos
Portanto o vetor solução geral é X(t)=[x(t);y(t)].
Resposta
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.