Classifique os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar seus pontos críticos e classificá-los. Vamos usar o gradiente para achar os pontos em que as derivadas parciais se anulam e, em seguida, aplicar o teste do Hessiano para classificar o ponto crítico.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e resolver
.
A derivada de
em relação a
é
e em relação a
é
Para ter gradiente nulo, precisamos de
Como
para todo
, isso implica
e
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Construir o Hessiano
, matriz das segundas derivadas parciais, e avaliá-lo em
.
Começamos calculando
Portanto,
Passo 4
Avaliar o Hessiano em
. Como
, obtemos
Essa matriz é definida positiva (autovalores
), portanto
é ponto de mínimo local de
.]
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um mínimo local.