Determine os pontos críticos de:
z=\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função de duas variáveis
z = (x^2 - 1)\,(y^2 - 4).
Conteúdo: cálculo de pontos críticos de uma função z=f(x,y). Vamos usar que pontos críticos são aqueles em que o gradiente de f é (0,0), isto é,
\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais.
Para \partial z/\partial x, tratamos y como constante:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x^2-1)(y^2-4)\bigr) = 2x\,(y^2-4).
Para \partial z/\partial y, tratamos x como constante:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((x^2-1)(y^2-4)\bigr) = 2y\,(x^2-1).

Passo 3

Impondo o sistema
2x\,(y^2-4) = 0, \quad 2y\,(x^2-1) = 0,
podemos simplificar para
x\,(y^2-4) = 0, \quad y\,(x^2-1) = 0.

Passo 4

Do primeiro fator: x\,(y^2-4)=0 dá as alternativas
  • x=0, ou
  • y^2-4=0, isto é, y=\pm2.
    Do segundo: y\,(x^2-1)=0
  • y=0, ou
  • x^2-1=0, isto é, x=\pm1.
    Agora combinamos:
  1. Se x=0, para zerar a segunda equação devemos ter y=0. Isso gera o ponto (0,0).
  2. Se y=\pm2, então obrigatoriamente x=\pm1. Isso gera os quatro pontos (1,2), (1,-2), (-1,2), (-1,-2).

Resposta

(0,0), (1,2), (1,-2), (-1,2) e (-1,-2).

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