Determine os pontos críticos de:
z=e^{1+x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z = e^{1 + x^{2} + y^{2}}
e pede os pontos críticos. Como estamos em cálculo de várias variáveis, para achar os pontos críticos precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y e resolver o sistema \nabla z = (0,0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Como e^{1 + x^{2} + y^{2}} é composição de exponencial com polinômio, usa-se regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(e^{1 + x^{2} + y^{2}}\bigr) = e^{1 + x^{2} + y^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(1 + x^{2} + y^{2}) = e^{1 + x^{2} + y^{2}}\cdot 2x.
Analogamente,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{1 + x^{2} + y^{2}}\cdot 2y.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}=0,
\frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}=0.
Como e^{1 + x^{2} + y^{2}}>0 para todo (x,y), as únicas soluções vêm de
2x=0 \quad\text{e}\quad 2y=0 \;\;\Longrightarrow\;\; x=0,\;y=0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0).

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