Classifique os pontos críticos de:
z=e^{1+x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}}
e pede para encontrar seus pontos críticos e classificá-los. Vamos usar o gradiente para achar os pontos em que as derivadas parciais se anulam e, em seguida, aplicar o teste do Hessiano para classificar o ponto crítico.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e resolver \nabla f = (0,0).
A derivada de f em relação a x é
f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{1 + x^{2} + y^{2}} = 2x\,e^{1 + x^{2} + y^{2}},
e em relação a y é
f_{y} = 2y\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}.
Para ter gradiente nulo, precisamos de
2x\,e^{1 + x^{2} + y^{2}} = 0 \quad\text{e}\quad 2y\,e^{1 + x^{2} + y^{2}} = 0.
Como e^{1 + x^{2} + y^{2}}>0 para todo (x,y), isso implica x=0 e y=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Construir o Hessiano H, matriz das segundas derivadas parciais, e avaliá-lo em (0,0).
Começamos calculando
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}\bigr) = 2\,e^{1 + x^{2} + y^{2}} + 4x^{2}\,e^{1 + x^{2} + y^{2}} = e^{1 + x^{2} + y^{2}}\,(2 + 4x^{2}),
f_{yy} = e^{1 + x^{2} + y^{2}}\,(2 + 4y^{2}),
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}\bigr) = 4xy\,e^{1 + x^{2} + y^{2}}.
Portanto,
H(x,y) = e^{1 + x^{2} + y^{2}} \begin{pmatrix} 2 + 4x^{2} & 4xy \\[6pt] 4xy & 2 + 4y^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar o Hessiano em (0,0). Como e^{1+0+0}=e, obtemos
H(0,0) = e \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix} = 2e \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é definida positiva (autovalores 2e>0), portanto (0,0) é ponto de mínimo local de f.]

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um mínimo local.

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