Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (r)\left\{\begin{aligned} x+3 y-z & =2 \\\ x-y+3 z & =4 \\\\ 3 x+y+5 z & =10\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear de três equações com três incógnitas e pede para classificá-lo e resolvê-lo (quando possível):
A tarefa é: (1) classificar o sistema (por exemplo: possível determinado, possível indeterminado, impossível) e (2) encontrar as soluções quando existirem.]
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) — é um método elementar e confiável para estudar e resolver sistemas lineares. Antes de operar, explico rapidinho:
Representamos o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes + termos independentes).
Aplicamos operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo). Essas operações preservam o conjunto de soluções.
Observando as linhas finais podemos determinar o posto (rank) da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, o sistema tem solução única; se o posto for igual mas menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções; se os postos forem diferentes, o sistema é impossível.
Essa forma indica que o posto da matriz dos coeficientes é 2 (duas linhas não nulas) e o posto da matriz aumentada também é 2 (a linha de zeros corresponde a 0=0, sem contradição). Como o posto é menor que o número de incógnitas (2<3), o sistema é consistente e tem infinitas soluções (sistema possível e indeterminado).]
Passo 5
Agora escrevo as equações correspondentes às linhas não nulas para obter as relações entre variáveis. Das linhas reduzidas:
Primeira linha: x+3y-z=2.
Segunda linha: -4y+4z=2.
Simplifico a segunda equação dividindo por 4:
-4y+4z=2 \\ \Longrightarrow\\\ -y+z=\tfrac{1}{2}\\ \Longrightarrow\\ z = y+\tfrac{1}{2}.
Escolho um parâmetro para a variável livre. É natural escolher y como parâmetro; escrevo y=t, com t\in\mathbb{R}. Então
z = t + \tfrac{1}{2}.
Substituo y=t e z=t+\tfrac{1}{2} na primeira equação para encontrar x: